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| Aufgabe 1 | 1. Die Zustandsgleichung idealer Gase lautet
pV = cT
wobei c ein Konstante ist. Somit kann jede der Größen p, V, T als eine Funk-
tion der zwei anderen dargestellt werden
p = p(V,T) = [mm] \bruch{cT}{V} [/mm]
V = V(p,T) = [mm] \bruch{cT}{p}
[/mm]
T = T(p,V) = [mm] \bruch{pV}{c}
[/mm]
Zeigen Sie
[mm] \bruch{\partial V}{\partial T}\* \bruch{\partial T}{\partial p}\* \bruch{\partial p}{\partial V}= [/mm] -1
für die drei Funktionen p = p(V, T) V = V (p, T) T = T(p, V ) |
| Aufgabe 2 | 2. Berechnen Sie die Ableitung [mm] \bruch{\partial^{2}F}{\partial t^{2}}
[/mm]
der wie folgt definierten Funktion:
F(t) := [mm] f(x_{1}(t); x_{2}(t))
[/mm]
Voraussetzung: f : [mm] \IR² \to \IR [/mm] und [mm] x_{1}; x_{2} [/mm] : [mm] \IR \to [/mm] R zweimal stetig differenzierbar |
| Aufgabe 3 | 3. Zeigen Sie, dass für f, g : [mm] \IR [/mm] to [mm] \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar die
Funktion u mit
u = u(x, t) := f(x - ct) + g(x + ct)
die eindimensionale Wellengleichung
[mm] \bruch{1}{c²} \* \bruch{\partial² u}{\partial t²} [/mm] - [mm] \bruch{\partial² u}{\partial x²} [/mm] = 0 erfüllt. (c= Ausbreitungsgeschwindigkeit) |
Guten morgen,
1)
ich habe zuerst mal die ableitungen von p, V, T gebildet so wie man es auch zeigen soll.
[mm] \bruch{\partial V}{\partial T}\* \bruch{\partial T}{\partial p}\* \bruch{\partial p}{\partial V}= [/mm] -1
=> [mm] \bruch{c}{p} \* \bruch{v}{c} \* \bruch{c}{v}= [/mm] ...
[mm] \bruch{c}{p} [/mm] = ....
hier liegt meine frage, ist das richtig? und wenn ja, setze ich dann [mm] \bruch{c}{p} [/mm] = -1 ? oder wie muss ich vorgehen?
2)
Also irgendwie sieht die aufgabe einfach aus, aber ich hab keine ahnung wie ichs anstellen soll.
Mein erster gedanke war
F'(t)= [mm] f'(x_{1}(t),x_{2}(t)) \* x_{1}'(t) \* x_{2}'(t)
[/mm]
F''(t)= [mm] f''(x_{1}(t),x_{2}(t)) \* x_{1}''(t) \* x_{2}''(t)
[/mm]
aber das sieht irgendwie vollkommen falsch aus :D kann mir jemand sagen, wie ich vorgehen muss?
3)
Also das müsste nach dem prinzip
u(x,y)=xy
[mm] u_{x}'(x,y_{0})=y
[/mm]
eigentlich funktionieren. Leider scheitert es bei mir wieder daran, wie ich vorzugehen habe (siehe aufgabe 2)
ich weiß nicht was ich mit f(x-ct) und g(x+ct) anstellen soll. wie leitet man sowas ab?
Wäre dankbar wenn mir jemand irgendwo helfen könnte, damit ich das semester noch irgendwie besteh :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu 1):
Schreib doch mal die partiellen Ableitungen die Du multiplizeren sollst sauber hin.
Zu 2) u. 3):
hier brauchst Du die mehrdimensionale Kettenregel!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
1)
[mm] \bruch{c}{p} \* \bruch{v}{c} \* \bruch{c}{v}= [/mm] ...
[mm] \bruch{c}{p} [/mm] = ....
das kommt raus, wenn ich die ableitungen bilde, heißt das dann
[mm] \bruch{c}{p} [/mm] = -1 ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
1)
[mm] \bruch{c}{p} \* \bruch{v}{c} \* \bruch{c}{v}= [/mm] ...
[mm] \bruch{c}{p} [/mm] = ....
das kommt raus, wenn ich die ableitungen bilde, heißt das dann
[mm] \bruch{c}{p} [/mm] = -1 ?
3)
Ich hab grad kurz geschaut, hab leider keine Formel für die mehrdimensionale Kettenregel gefunden. Hast du die vllt zur hand?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Das stimmt doch alles nicht !!!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Danke für diese produktive aussage... wenn alles stimmen würde, was ich aufschreibe dann wäre ich nicht in dem forum um nach hilfe zu suchen! Wenn du auch keine Idee hast, schade, aber dann sind glaub ich solche aussagen hier auch unnötig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mo 14.07.2008 | | Autor: | bobmob1 |
Geh mal bitte in die Bibo. und leih dir den "Greiner" für E-Dyn. oder auch Nolting oder Fließbach. Das sind Theo.-Phy.-Bücher die helfen immer gans gut weiter.
Wenn es nicht eielt kann ich dir da auch noch morgen eine Antwort schreiben da ich sehr im Streß bin?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
hi bob,
also das problem was ich habe, hatte die vorige woche viel stress, am wochende war ich nur unterwegs - geburtstage von verwandten sind pflichtveranstaltungen :) .. ich muss die aufgaben morgen abgeben :/
erstmal zu der mehrdimensionalen kettenregel:
2)
F(t) := [mm] f(x_{1}(t), x_{2}(t))
[/mm]
F'(t) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t}
[/mm]
stimmt das denn erstmal?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu 1):
Ich hatte Dich gebeten die folgenden Ableitungen aufzuschreiben:
V nach T, T nach p, p nach V.
Das hast du nicht getan. Du hast irgendein Produkt aufgeschrieben, welches hinten und vorne nicht stimmt und man auch nicht weiß , wie Du drauf gekommen bist. So kann man Dir kaum helfen.
Zu 2):
F'(t) = $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t} [/mm] $
Das stimmt.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
F''(t) = $ [mm] \bruch{\partial² f}{\partial x_{1}²} \bruch{\partial x_{1}²}{\partial t²} +\bruch{\partial² f}{\partial x_{2}²} \bruch{\partial² x_{2}}{\partial t²} [/mm] $
ist das dann die 2. ableitung?
zu 1)
tut mir leid, meine ableitung für p war falsch
also p = [mm] \bruch{cT}{V} [/mm] , p(V)'= [mm] \bruch{-cT}{V²}
[/mm]
die anderen hatte ich schon geschrieben
also V = [mm] \bruch{cT}{p}, [/mm] V(T)'= [mm] \bruch{c}{p}
[/mm]
T = [mm] \bruch{pV}{c}, [/mm] T(p)'= [mm] \bruch{V}{c}
[/mm]
daraus hatte ich dann eben das produkt gebildet so wie es in der aufgabe stand:
V' [mm] \* [/mm] T' [mm] \* [/mm] p' = [mm] \bruch{c}{p} \* \bruch{V}{c} \* \bruch{-cT}{V²}
[/mm]
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zu 1)
V' $ * $ T' $ * $ p' = $ [mm] \bruch{c}{p} [/mm] * [mm] \bruch{V}{c} [/mm] * [mm] \bruch{-cT}{V²} [/mm] $
=> [mm] \bruch{-cT}{pV}, [/mm] nun kann ich ja für V = [mm] \bruch{cT}{p} [/mm] einsetzen oder?
Wenn ja dann erhalte ich damit
V' $ * $ T' $ * $ p' = $ [mm] \bruch{c}{p} [/mm] * [mm] \bruch{V}{c} [/mm] * [mm] \bruch{-cT}{V²} [/mm] $ = 1
Und damit ist die Aufgabe erfüllt. Richtig?
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Hallo,
> zu 1)
> V' [mm]*[/mm] T' [mm]*[/mm] p' = [mm]\bruch{c}{p} * \bruch{V}{c} * \bruch{-cT}{V²}[/mm]
>
> => [mm]\bruch{-cT}{pV},[/mm] nun kann ich ja für V = [mm]\bruch{cT}{p}[/mm]
> einsetzen oder?
> Wenn ja dann erhalte ich damit
>
> V' [mm]*[/mm] T' [mm]*[/mm] p' = [mm]\bruch{c}{p} * \bruch{V}{c} * \bruch{-cT}{V²}[/mm]
> = 1
>
> Und damit ist die Aufgabe erfüllt. Richtig?
Ja, richtig.
LG, Martinius
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Zu 2)
F'(t) = $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t} [/mm] $
davon ausgehen habe ich versucht noch einmal die Regel anzuwenden bin mir aber nicht sicher, ob es gelungen ist:
F'(t) = $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t} [/mm] $ = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \* x_{2}(t) \* x_{1}'(t) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \* x_{1}(t) \* x_{2}'(t)
[/mm]
=>
F''(t)=
[mm] \bruch{\partial² f}{\partial x_{1}²} \* x_{2}(t) \* x_{2}(t) \* x_{1}'(t) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \* x_{2}(t) \* x_{1}''(t) [/mm] + [mm] \bruch{\partial² f}{\partial x_{2}²} \* x_{1}(t) \* x_{1}(t) \* x_{2}'(t) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \* x_{1}(t) \* x_{2}''(t)
[/mm]
stimmt das? wenn nicht könnte mir jemand sagen wo der fehler liegt und wie es richtig heißen müsste?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Keiner da, der mal drüber schauen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leipziger!
> F'(t) = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \* x_{2}(t) \* x_{1}'(t)[/mm] + [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \* x_{1}(t) \* x_{2}'(t)[/mm]
Wo "zauberst" Du denn beim ersten Term das [mm] $x_2(t)$ [/mm] und beim 2. Term das [mm] $x_1(t)$ [/mm] her?
Ansonsten ist die Idee mit der  Produktregel richtig ...
Gruß
Loddar
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