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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 So 20.11.2005 | | Autor: | Runaway |
Hallo,
Ich habe das Gleichungssystem
x [mm] e^{x+v} [/mm] +2 u v = 1
y [mm] e^{u-v}-\bruch{u}{1+v}=2 [/mm] x
gegeben. Ich soll jetzt hieraus die partielle Ableitungs von du/dx und dv/dy im Punkt (1,2) geben.
u und v sind dabei Funktionen die von x und y abhängen.
Was ich probiert habe, ist die beiden Gleichungen gleich zusetzen und dann nach x, u und v abgeleitet.
Aber jetzt weiß ich nicht mehr was ich tun soll...
Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte, da ich gerade etwas feststecke...
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Runaway,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
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> Ich habe das Gleichungssystem
> x [mm]e^{x+v}[/mm] +2 u v = 1
> y [mm]e^{u-v}-\bruch{u}{1+v}=2[/mm] x
>
> gegeben. Ich soll jetzt hieraus die partielle Ableitungs
> von du/dx und dv/dy im Punkt (1,2) geben.
>
> u und v sind dabei Funktionen die von x und y abhängen.
>
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> Was ich probiert habe, ist die beiden Gleichungen gleich
> zusetzen und dann nach x, u und v abgeleitet.
>
> Aber jetzt weiß ich nicht mehr was ich tun soll...
>
> Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte, da ich gerade
> etwas feststecke...
Ok, ich werde sehen, was ich für Dich tun kann.
Zunächst ist das ein Gleichungssystem von zwei Funktionen
[mm]
\begin{gathered}
F_1 \left( {x,\;y,\;u,\;v} \right)\; = \;0 \hfill \\
F_2 \left( {x,\;y,\;u,\;v} \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Nun sollen u und v von x und y abhängen:
[mm]
\begin{gathered}
F_1 \left( {x,\;y,\;u(x,y),\;v\left( {x,y} \right)} \right)\; = \;0 \hfill \\
F_2 \left( {x,\;y,\;u(x,y),\;v\left( {x,y} \right)} \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Zur Bestimmung der partiellen Ableitungen der unbekannten Funktion u und v leiten wir einmal nach x und einmal nach y ab:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta x}}\;F_1 \; = \;F_{1x} \; + \;F_{1u} \;u_x \; + \;F_{1v} \;v_x \; = \;0 \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta x}}\;F_2 \; = \;F_{2x} \; + \;F_{2u} \;u_x \; + \;F_{2v} \;v_x \; = \;0 \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta y}}\;F_1 \; = \;F_{1y} \; + \;F_{1u} \;u_y \; + \;F_{1v} \;v_y \; = \;0 \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta y}}\;F_2 \; = \;F_{2y} \; + \;F_{2u} \;u_y \; + \;F_{2v} \;v_y \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das ist ein Gleichungssystem für die partiellen Ableitungen der unbekannten Funktion u und v.
Dies ist genau dann eindeutig lösbar, wenn [mm]F_{1u}\;F_{2v}\;-\;F_{2u}\;F_{1v}\;\not=\;0[/mm]
Die Frage, welche sich noch stellt ist, welche Werte u und v erfüllen das Gleichungssystem
[mm]
\begin{gathered}
F_1 \left( {x,\;y,\;u,\;v} \right)\; = \;0 \hfill \\
F_2 \left( {x,\;y,\;u,\;v} \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
für (x,y) = (1,2).
Die Lösung hiervon wird mit dem mehrdimensionalen Newtonverfahren bestimmt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 20.11.2005 | | Autor: | Runaway |
Danke erstmal, aber ich hätte trotzdem noch ein paar Fragen.
Die
$ [mm] \begin{gathered} \frac{\delta } {{\delta x}}\;F_1 \; = \;F_{1x} \; + \;F_{1u} \;u_x \; + \;F_{1v} \;v_x \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta x}}\;F_2 \; = \;F_{2x} \; + \;F_{2u} \;u_x \; + \;F_{2v} \;v_x \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta y}}\;F_1 \; = \;F_{1y} \; + \;F_{1u} \;u_y \; + \;F_{1v} \;v_y \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta y}}\;F_2 \; = \;F_{2y} \; + \;F_{2u} \;u_y \; + \;F_{2v} \;v_y \; = \;0 \hfill \\ \end{gathered} [/mm] $
stelle ich dann nach [mm] u_{x} [/mm] bzw. [mm] v_{x} [/mm] um?
Denn das u (bzw. v) steht ja in der Potenz von e und kommt auch noch linear vor...
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Hallo Runaway,
> Danke erstmal, aber ich hätte trotzdem noch ein paar
> Fragen.
>
> Die
> [mm]\begin{gathered} \frac{\delta } {{\delta x}}\;F_1 \; = \;F_{1x} \; + \;F_{1u} \;u_x \; + \;F_{1v} \;v_x \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta x}}\;F_2 \; = \;F_{2x} \; + \;F_{2u} \;u_x \; + \;F_{2v} \;v_x \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta y}}\;F_1 \; = \;F_{1y} \; + \;F_{1u} \;u_y \; + \;F_{1v} \;v_y \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta y}}\;F_2 \; = \;F_{2y} \; + \;F_{2u} \;u_y \; + \;F_{2v} \;v_y \; = \;0 \hfill \\ \end{gathered}[/mm]
>
> stelle ich dann nach [mm]u_{x}[/mm] bzw. [mm]v_{x}[/mm] um?
Ja.
> Denn das u (bzw. v) steht ja in der Potenz von e und kommt
> auch noch linear vor...
>
Mit Hilfe der obigen Gleichungen kannst Du [mm]u_{x},\;u_{y},\;v_{x},\;v_{y}[/mm] bestimmen.
Interessant ist ja welches Paar (u,v) gilt:
[mm]F_1(1,2,u,v)\;=\;F_2(1,2,u,v)\;=\;0[/mm]
Gruß
MathePower
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