Partielle Ableitung-Skalarfeld < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man kann in guter Näherung das skalare elektrostatische Potenzial einer Punktladung in einem Plasma durch den Ansatz:
[mm] \mu(\vec{r})=\bruch{q}{4\pi \varepsilon_{0}}\bruch{e^{-\alpha r}}{r}
[/mm]
beschreiben.
a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen von [mm] \mu [/mm] und geben sie grad [mm] \mu [/mm] an. |
Hallo zusammen,
habe hier zunächst einmal allgemeine Verständnisfragen:
Partielle Ableitung bedeutet doch, dass man eine Funktion in eine (Raum)Richtung ableitet, wobei die beiden anderen konstant gehalten werden (im Dreidimensionalen Raum), d.h man bekommt die veränderung der Funktion in einer Raumrichtung.
Zu diesem konkreten Bsp.: [mm] \vec{r} [/mm] ist doch ein Ortsvektor mit den Komponetnen: [mm] \vec{r}=\vektor{x \\ y \\ z}...Was [/mm] sagt mir nun die Funktion [mm] \mu(r)? [/mm] Ich verstehe es so, dass Sie mir zu jedem Punkt (x,y,z) in dem sich die Punktladung befindet, ein elektrostatisches Potential zuordnet.?
Meine Variable ist ja [mm] \vec{r} [/mm] (die mir einen bestimmten Ort (x,y,z) liefert),
wenn ich nun aber partiell ableiten möchte, muss ich das doch in x bzw. y. bzw z richtung machen, die ich hier ja nicht ablesen kann-muss ich r umschreiben in seine Komponenten....Ich komme absolut auf keinen Ansatz.wie gehe ich da vor??
Wäre für Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo.
> Man kann in guter Näherung das skalare elektrostatische
> Potenzial einer Punktladung in einem Plasma durch den
> Ansatz:
>
> [mm]\mu(\vec{r})=\bruch{q}{4\pi \varepsilon_{0}}\bruch{e^{-\alpha r}}{r}[/mm]
>
> beschreiben.
>
> a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen von [mm]\mu[/mm] und
> geben sie grad [mm]\mu[/mm] an.
> Hallo zusammen,
> habe hier zunächst einmal allgemeine Verständnisfragen:
>
> Partielle Ableitung bedeutet doch, dass man eine Funktion
> in eine (Raum)Richtung ableitet, wobei die beiden anderen
> konstant gehalten werden (im Dreidimensionalen Raum), d.h
> man bekommt die veränderung der Funktion in einer
> Raumrichtung.
>
> Zu diesem konkreten Bsp.: [mm]\vec{r}[/mm] ist doch ein Ortsvektor
> mit den Komponetnen: [mm]\vec{r}=\vektor{x \\ y \\ z}...Was[/mm]
> sagt mir nun die Funktion [mm]\mu(r)?[/mm] Ich verstehe es so, dass
> Sie mir zu jedem Punkt (x,y,z) in dem sich die Punktladung
> befindet, ein elektrostatisches Potential zuordnet.?
>
> Meine Variable ist ja [mm]\vec{r}[/mm] (die mir einen bestimmten Ort
> (x,y,z) liefert),
> wenn ich nun aber partiell ableiten möchte, muss ich das
> doch in x bzw. y. bzw z richtung machen, die ich hier ja
> nicht ablesen kann-muss ich r umschreiben in seine
> Komponenten....Ich komme absolut auf keinen Ansatz.wie gehe
> ich da vor??
Mit $r$ ist ja gemeint: [mm] $r=\left|\vec{r}\right|$. [/mm] Das Potential hängt also nur vom Abstand zum Ursprung ab, ist also kugelsymmetrisch. Um nun partiell abzuleiten kannst du natürlich [mm] $r=\left|\vec{r}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ [/mm] setzen, Hilft dir das weiter?
Viele Grüße, Lippel
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Danke für die schnelle Antowort!
Woran würde ich erkennen, dass es vom Betrag abhängt? Daran, dass r zeitunabhängig ist?
Also wenn ich den Ansatz mit dem Betrag nehme,
schreibe ich in der Funktion für das „r“ im Exponenten von e [mm] =\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] und für das „r“ im Nenner des 2. Bruchs auch?
Und dann leite ich das ganze nach x, y bzw z ab?
Noch eine weitergehende Frage, weil es mich interessiert:
Wäre „r“ in einem anderen Beispiel noch von t abhängig also r(t), hätte ich ja eine vektorwertige Funktion, die mir für jeden Zeitpunkt einen zugehörigen Ortsvektor liefert-was würde sich dabei ändern, wenn ich jetzt die partiellen Ableitungen bestimmen möchte?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Danke für die schnelle Antowort!
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> Woran würde ich erkennen, dass es vom Betrag abhängt?
> Daran, dass r zeitunabhängig ist?
Naja, $r$ bezeichnet ja den Abstand eines Punktes im Raum zum Ursprung des Koordinatensystems. Solange sich das Koordinatensystem nicht zeitlich ändert, ist $r$ also per se zeitunabhängig.
Du betrachtest je ein Feld im gesamten Raum und nicht beispielsweise ein Teilchen, das sich bewegt und dessen Ortsvektor sich ändern würde.
Dass mir $r$ der Betrag gemeint ist, ist einfach Konvention. Man findet $r$ ja beispielsweise auch in den Kugelkoordinaten und wenn du von kartesischen in Kugelkoordinaten umrechnest, ist $r$ genau wieder gegeben durch [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
[/mm]
> Also wenn ich den Ansatz mit dem Betrag nehme,
> schreibe ich in der Funktion für das „r“ im
> Exponenten von e [mm]=\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm] und für das „r“
> im Nenner des 2. Bruchs auch?
Ja, das Ableiten wird also ein großer Spaß :)
>
> Und dann leite ich das ganze nach x, y bzw z ab?
Genau. Nach jeder Komponente wird abgeleitet und danach die drei partiellen Ableitungen als Vektor zum Gradienten zusammengefasst, einfach indem du die Ableitungen in die drei Komponenten eines Vektors schreibst.
>
> Noch eine weitergehende Frage, weil es mich interessiert:
> Wäre „r“ in einem anderen Beispiel noch von t
> abhängig also r(t), hätte ich ja eine vektorwertige
> Funktion, die mir für jeden Zeitpunkt einen zugehörigen
> Ortsvektor liefert-was würde sich dabei ändern, wenn ich
> jetzt die partiellen Ableitungen bestimmen möchte?
Das würde für ein Feld wie gesagt wenig Sinn ergeben, da du ja das Feld immer in allen Raumpunkten betrachten möchtest, und nicht nur in einem Punkt [mm] $\vec{r}$, [/mm] der dann noch von der Zeit abhängt.
Betrachtest du zum Beispiel die Bewegung eines Teilchens im Feld, und der Ort des Teilchens ist durch [mm] $\vec{r}(t)$ [/mm] gegeben, dann kannst du [mm] $r(t)=|\vec{r}(t)|$ [/mm] bestimmen und in dein Feld einsetzen, und erhälst dann den Wert des Feldes, der zu jedem Zeitpunkt am Ort des Teilchens vorliegt.
Ich hoffe das beantwortet deine Frage und wir reden nicht aneinander vorbei.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Theoretix |
Das hat meine Frage perfekt beantwortet, danke dir!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dass in deiner Formel mit [mm]r[/mm] [mm]|\vec{r}|[/mm] gemeint ist, sieht man auch unter anderem daran, dass durch [mm]r[/mm] geteilt wird, und man nicht durch Vektoren teilen kann. Ausserdem macht ein Ausdruck [mm]e^\text{Vektor}[/mm] in dem Zusammenhang auch keinen Sinn, da man ja weiss, dass das Potential eine skalare Groesse ist (zumal ein [mm] $e^A$ [/mm] mit einer Matrix A wohl auch nur def. ist, wenn $A$ ne [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix ist).
Um dein Problem ein wenig geschickter zu loesen, empfehle ich noch, [mm]r[/mm] nicht durch [mm]\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/mm] auszudruecken, sondern sich einfach [mm]\nabla[/mm] in Kugelkoordinaten zu besorgen, s.h. zB ![[]](/images/popup.gif) hier.
Zur Uebung kannst du dich aber natuerlich davon ueberzeugen, dass beides mal das selbe herauskommt.
LG
Kroni
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Hallo, ich bin jetzt folgendermaßen an diese Ableitung rangegangen:
Ich habe |r| mit [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] ausgedrückt, wobei mich, wenn ich partiell nach x ableite ja nur die x Komponente interessiert.
Kann ich dann für die part. Ableitung nach x nicht einfach für [mm] |r|=\wurzel{x^2}=x [/mm] einsetzen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] d/dx(\wurzel{x^2+y^2+z^2}) [/mm] einfach mal mit [mm] d/dx(\wurzel{x^2} [/mm] vergleichen.
das hättest du ja auch ohne Frage gekonnt!
gibts nen Unterschied?
Gruss leduart
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Also folgendes ist partiell abzuleiten:
[mm] \phi(r)=\bruch{q}{4\pi \varepsilon_{0}}\bruch{e^{-\alpha\wurzel{x^2+y^2+z^2}}}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
Erstmal nach x:
Der Einfachheit halber habe ich alle ausdrücke, [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}=u [/mm] genannt, wenn sie erstmal nicht weiter gebraucht werden:
[mm] \bruch{\partial\phi(r)}{\partial x}=\bruch{-\alpha \bruch{x}{u}exp(-\alpha u)*u-exp(-\alpha u)*\bruch{x}{u}}{u^2}
[/mm]
Das war ja jetzt „einfach“ mal die Quotentenregel, wobeidie Exponentialfunktion zusätzlich noch eine verkettete Funktion darstellt, als Vorüberlegung habe ich mir dazu die Ableitun von [mm] e^{-\alpha\wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] überlegt, das müsste ja [mm] =-\alpha*\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}e^{-\alpha \wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] sein, und dann eben [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}=u [/mm] daher mein obiger Term.
Ist das soweit korrekt?
Falls ja, wie mache ich nun weiter?
Also ich könnte noch [mm] \bruch{x}{u}e^{-\alpha u} [/mm] ausklammern, aber ob mich das so richtig weiter bringt?!
Wäre für eine schnelle Kritik bzw. Lobeshymne dankbar=) und einen Tipp wie ich gegebenenfalls weiter mache...
Liebe Grüße
P.S. den konstanten Faktor [mm] \bruch{q}{4\pi \varepsilon_{0}} [/mm] habe ich aus Einfachheitsgründen erstmal weggelassen, zur Übersicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 30.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Abl. nach x ist richtig
gruss leduart
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Dankeschön für die Antwort!
Kann/darf man da denn noch sinnvoll weiter vereinfachen, oder kann man das so stehen lassen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Fr 31.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde das durch ausklammern vereinfachen
gruss leduart
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