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| Aufgabe | | [mm] s_n [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}, e=\limes_{n\rightarrow\infty} s_n. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] |e-s_n|\le \bruch{1}{n\dot n!} [/mm] |
Meine Gedanken:
[mm] e=exp(1)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |e-s_n|=|\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{k!}|=\summe_{i=n+1}^{\infty}|\bruch{1}{k!}|=\summe_{i=n+1}^{\infty}\bruch{1}{k!}=\bruch{1}{(n+1)!}+\bruch{1}{(n+2)!}+... [/mm] = [mm] \bruch{1}{(n+1)n!}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)n!}+...=\bruch{1}{n!}(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+...)\le\bruch{1}{n!}(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+...)=\bruch{1}{n!}\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
Jetzt habe ich es ja irgendwie schon fast. Mir fehlen nur weitere Gedanken.
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Hallo Schuricht,
Deine Abschätzung ist ein bisschen zu großzügig.
> [mm]s_n[/mm] := [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}, e=\limes_{n\rightarrow\infty} s_n.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]|e-s_n|\le \bruch{1}{n\dot n!}[/mm]
Der Malpunkt heißt in [mm] \LaTeX[/mm] \cdot. Damit kann man dann [mm] n\cdot{n!} [/mm] schreiben. 
> Meine
> Gedanken:
>
> [mm]e=exp(1)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
> [mm]\Rightarrow |e-s_n|=|\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] -
> [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{k!}|=\summe_{i=n+1}^{\infty}|\bruch{1}{k!}|=\summe_{i=n+1}^{\infty}\bruch{1}{k!}=\bruch{1}{(n+1)!}+\bruch{1}{(n+2)!}+...[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{(n+1)n!}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)n!}+...=\bruch{1}{n!}(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+...)[/mm]
Bis hier sehr schön.
> [mm]\le\bruch{1}{n!}(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+...)=\bruch{1}{n!}\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
Jetzt ist nur doof, dass die Summe den Wert [mm] \infty [/mm] hat.
Ich würde daher lieber so weitermachen:
[mm] \cdots\le\bruch{1}{n!}\left(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^3}+\cdots\right)=\bruch{1}{n!}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n^k}
[/mm]
> Jetzt habe ich es ja irgendwie schon fast. Mir fehlen nur
> weitere Gedanken.
Reicht der?
Grüße
reverend
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okay, dann habe ich sozusagen:
[mm] \bruch{1}{n!} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^k}\le \bruch{1}{n!}\bruch{1}{n-1}.
[/mm]
Aber ich kann ja jetzt die 1 nicht wegbekommen, denn dann würde ja wieder [mm] \ge [/mm] gelten?
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Hallo nochmal,
> okay, dann habe ich sozusagen:
>
> [mm]\bruch{1}{n!} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^k}\le \bruch{1}{n!}\bruch{1}{n-1}.[/mm]
>
> Aber ich kann ja jetzt die 1 nicht wegbekommen, denn dann
> würde ja wieder [mm]\ge[/mm] gelten?
Ja, klar. Also ist selbst diese Abschätzung noch zu grob. Aber ich finde, man sieht jetzt doch deutlich, wie die richtige lauten muss, oder?
[mm] \cdots\le\bruch{1}{n!}\left(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)^2}+\cdots\right)=\cdots
[/mm]
Nur mal so als Verbesserungsvorschlag. 
Grüße
reverend
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ahhh ... cool! also gilt:
[mm] \bruch{1}{n!}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)^k}\le\bruch{1}{n!}\bruch{1}{(n+1)-1}=\bruch{1}{n \cdot n!}\Rightarrow [/mm] Behauptung.
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Hi,
> ahhh ... cool! also gilt:
>
> [mm]\bruch{1}{n!}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)^k}\le\bruch{1}{n!}\bruch{1}{(n+1)-1}=\bruch{1}{n \cdot n!}\Rightarrow[/mm]
> Behauptung.
Jawollja (sprach Olja).
*g*
rev
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Danke sehr! :-D
Wenn ich jetzt noch ein [mm] N\in \IN [/mm] bestimmen soll, für welches gilt: [mm] |e-s_N|\le 0,5\cdot 10^{-4}, [/mm] dann muss ja gelten:
[mm] |e-s_N|\le\bruch{1}{N\cdot N!} =0,5\cdot 10^{-4}\Rightarrow \bruch{1}{0,5\cdot 10^{-4}}=NN! \Rightarrow [/mm] 20.000 = NN! Wie kommt man da auf N? Und das mit Hilfe der Lösung von gerade?
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Hallo,
> Danke sehr! :-D
>
> Wenn ich jetzt noch ein [mm]N\in \IN[/mm] bestimmen soll, für
> welches gilt: [mm]|e-s_N|\le 0,5\cdot 10^{-4},[/mm]
Achtung: ein N ist zu bestimmen. Es muss nicht das kleinste sein oder sonstwie genau sein.
> dann muss ja
> gelten:
>
> [mm]|e-s_N|\le\bruch{1}{N\cdot N!} =0,5\cdot 10^{-4}\Rightarrow \bruch{1}{0,5\cdot 10^{-4}}=NN! \Rightarrow[/mm]
> 20.000 = NN! Wie kommt man da auf N? Und das mit Hilfe der
> Lösung von gerade?
Naja, das ist noch keine große Zahl, wenn man mit Fakultäten hantiert. Probieren wir doch mal:
$5*5!=5*120=600$ Ok, viel zu klein.
$7*7!=7*5040=35280$ Schon besser, aber zu groß.
Das würde trotzdem als Ergebnis schon reichen. Oder auch N=8 oder meinetwegen sogar N=10.
Trotzdem: $6*6!=6*720=4320$ ist auch zu klein, also ist N=7 hier tatsächlich das perfekte Ergebnis.
Nur dass es eben eigentlich gar nicht so perfekt sein muss.
Grüße
reverend
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Okay, also das Ergebnis durch "Probieren" herauszufinden, war auch meine Idee. In der Aufgabenstellung steht ja auch nichts von berechnen. Also bedeutet das: [mm] N\in\IN_{<7}, [/mm] z. B. N=1 [mm] \Rightarrow s_n [/mm] = 2.
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Hi,
> Okay, also das Ergebnis durch "Probieren" herauszufinden,
> war auch meine Idee. In der Aufgabenstellung steht ja auch
> nichts von berechnen. Also bedeutet das: [mm]N\in\IN_{<7},[/mm] z.
> B. N=1 [mm]\Rightarrow s_n[/mm] = 2.
Müsste nicht [mm] N\ge{7} [/mm] sein, oder habe ich gerade einen Denkfehler?
lg
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Fr 17.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir das Leben doch nicht so schwer ! Wie reverend gesagt hat: es reicht ein N zu finden , welches das Gewünschte leistet.
Wir haben:
[mm] |e-s_N|\le\bruch{1}{N\cdot N!} \le \bruch{1}{N}.
[/mm]
Ist nun N [mm] \in \IN [/mm] so, dass [mm] \bruch{1}{N} [/mm] < [mm] \bruch{1}{20.000}, [/mm] so gilt, wie gewünscht:
[mm] |e-s_N|< \bruch{1}{20.000}.
[/mm]
N=20.001 tuts !
FRED
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