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Wir müssen diese Übungsaufgabe lösen:
Berechnen sie das unbestimmte Integral durch Partialbruchzerlegung :
[mm] \integral {x^{2}-5x +6/ x^{3}-x^{2}-x +1 dx}
[/mm]
Lösungsansatz:
Also ich weiß das man zuerst die Nulstellen des Nenners suchen muss .
1. stelle raten :
[mm] x_1 [/mm] = 1
[mm] x^{3}-x^{2}-x [/mm] +1 : (x-1) = [mm] (x^2) [/mm] - 1
[mm] (x^2)-1 [/mm] = 0
x = +- [mm] \wurzel{1}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 1
[mm] x_3 [/mm] = -1
1 ist doppelte Nulstelle und -1 ist einfache Nulstelle .
Jetz muss ich die Darstellung ( A/x ) + B/(x-1)+ [mm] C/(x-1)^2
[/mm]
Da komm ich nicht mehr weiter ? Wie geht das weiter ?
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Hallo sweetangelll !
> [mm]\integral {x^{2}-5x +6/ x^{3}-x^{2}-x +1 dx}[/mm]
Bitte Klammern setzen: [mm]\integral {\red{(}x^{2}-5x +6\red{)}/\red{(} x^{3}-x^{2}-x +1\red{)} \ dx}[/mm]
Oder unseren Formeleditor benutzen  ...
[mm]\integral {\bruch{x^{2}-5x +6}{x^{3}-x^{2}-x +1} \ dx}[/mm]
> Also ich weiß das man zuerst die Nulstellen des Nenners
> suchen muss .
>
> 1. stelle raten :
>
> [mm]x_1[/mm] = 1
>
> [mm]x^{3}-x^{2}-x[/mm] +1 : (x-1) = [mm](x^2)[/mm] - 1
Auch hier Klammern bitte nicht vergessen:
[mm]\red{(}x^{3}-x^{2}-x + 1\red{)} : (x-1) \ = \ (x^2) - 1[/mm]
> [mm](x^2)-1[/mm] = 0
> x = +- [mm]\wurzel{1}[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = 1
> [mm]x_3[/mm] = -1
>
> 1 ist doppelte Nulstelle und -1 ist einfache Nulstelle .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt muss ich die Darstellung ( A/x ) + B/(x-1)+ [mm]C/(x-1)^2[/mm]
Hier hast Du Dich wohl nur verschrieben:
[mm] $\bruch{A}{x\red{+1}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)^2}$
[/mm]
> Da komm ich nicht mehr weiter ? Wie geht das weiter ?
Diese drei Brüche mußt Du nun auf einen gemeinsamen Bruch schreiben (erweitern nicht vergessen) und anschließend den Zähler weitestgehend zusammenfassen.
Daraufhin machst Du einen Koeffizientenvergleich.
Das heißt: nach dem Zusammenfassen des Zählers stellst Du die Koeffizenten vor den einzelnen x-Potenzen dem Ausgangspolynom [mm] $x^2-5x+6$ [/mm] gegenüber und löst das entstehende Gleichungssystem:
[mm] $\red{(...)}*x^2 [/mm] + [mm] \blue{(...)}*x [/mm] + [mm] \green{(...)} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}*x^2 [/mm] + [mm] \blue{(-5)}*x+\green{6}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[I.] [mm] $\red{(...)} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$
[/mm]
[II.] [mm] $\blue{(...)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{-5}$
[/mm]
[III.] [mm] $\green{(...)} [/mm] \ = \ [mm] \green{6}$
[/mm]
Kommst Du nun weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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stimmt das bis hier so ?
$ [mm] \bruch{A}{x\red{+1}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)^2} [/mm] $
Auf den gleichen Nenner bringen :
Nenner: [mm] A(x^{2}(-2x)+1)+ B(x^{2}-x+x-1)+C(x+1)
[/mm]
[mm] x^{2}(A+B) [/mm] + x (-2A +C) +A-B+C
A+B = 1
-2A+C = -5
A-B+C = +6
stimmt das so ? Wie geht es jetzt weiter ??
Danke für die schnelle hilfe :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich bekomme als Lösung für
A= 3
B= -2
C= 1
Also heißt dass :
$ \integral {\bruch{x^{2}-5x +6}{x^{3}-x^{2}-x +1} \ dx} $
=
$ \integral {\bruch{3}{x+1}\ \p \bruch{-2}{x-1}\+\bruch{1}{(x-1)^{2} \ dx} $
stimmt das so , ich weiß nicht ob die Formatierung so stimmt,jedenfalls soll ein + zwischen den Brüchen stehen :D
= $ 6 \integral {\bruch{1}{x+1}\+\bruch{-1}{x-1}\+\bruch{1}{(x-1)^{2} \ dx} $
Substitution :t = (x+1) , z=(x-1), v=(x-1)
= $ 6 \integral {\bruch{1}{t}\+\bruch{-1}{z}\+\bruch{1}{(v)^{2} \ dx} $
= 6 ln t - ln z + (1/ v^2)
= 6 ln (x+1) - ln (x-1) - (1/ (x-1)^2)
ok ich habe das als Lösung , stimmt das so ??
PS: vielen Dank für die hilfe ohne euch hätte ich das nicht geschafft ;)
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wenn ich hier nicht die 6 ausklammern kann wie muss ich dass den dan machen ??
Ich komme immer noch nicht zu deiner Lösung auch wenn ich im Bruch die 3 und -2 stehen lasse bekomme ich irgendwie nicht
= \ [mm] 3\cdot{}\ln(x+1) [/mm] - [mm] \ln(x-1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] $ raus .
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Hallo sweeetangelll ...
Du brauchst hier überhaupt nicht ausklammern ...
[mm]\integral {\left[\bruch{3}{x+1} + \bruch{-2}{x-1} + \bruch{1}{(x-1)^2}\right] \ dx} \ = \ \integral {\bruch{3}{x+1} \ dx} + \integral{\bruch{-2}{x-1} \ dx} + \integral{\bruch{1}{(x-1)^2} \ dx} \ = \ 3*\integral {\bruch{1}{x+1} \ dx} - 2*\integral{\bruch{1}{x-1} \ dx} + \integral{(x-1)^{-2} \ dx} \ = \ ...[/mm]
Nun klar(er) ??
Gruß vom
Roadrunner
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Roadrunner ich habe es endlich kapiert lol . Dankeeeeeeeeeeeeeee dir , am liebsten würde ich dir einen Schmatzer geben :P
lol scherz aber wirklich vielen dank :)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du meinst das Richtige: es handelt sich natürlich um den Zähler !!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Alles richtig - prima!
Potenzregel![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
??
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
und dann mußte ich weg ...
![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
