Partialbruchzerlegung Grenzwer < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 30.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung der Summanden:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n^{2}-1)}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k^3 - k)} [/mm] |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n^{2}-1)} [/mm]
[mm] \bruch{1}{(4n^{2}-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(2n-1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(2n+1)} [/mm]
A = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
B = - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(2n-1)*2} [/mm] - [mm] \bruch{B}{(2n+1)*2} [/mm] = 0 - 0 = 0
(b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k^3 - k)}
[/mm]
Dort habe ich versucht den Nenner zu zerlegen
[mm] \bruch{1}{(k^3 - k)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(k(k^2 - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(k+0)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(k-1)}
[/mm]
A = 0
B = [mm] -\bruch{1}{(2)}
[/mm]
C = 0
d.h.
[mm] \bruch{B}{(k+1)*-2} [/mm] = 0
Es muss aber laut Aufgabenstellung [mm] \infty [/mm] sein. Kann mir jemand weiterhelfen bzw. prüfen ob ich es überhaupt richtig mache ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 30.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen mit Hilfe
> einer Partialbruchzerlegung der Summanden:
>
> (a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n^{2}-1)}[/mm]
> (b)
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k^3 - k)}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n^{2}-1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(4n^{2}-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(2n-1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{(2n+1)}[/mm]
>
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> B = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(2n-1)*2}[/mm] -
> [mm]\bruch{B}{(2n+1)*2}[/mm] = 0 - 0 = 0
Das stimmt so.
>
>
>
>
> (b) [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k^3 - k)}[/mm]
>
> Dort habe ich versucht den Nenner zu zerlegen
>
> [mm]\bruch{1}{(k^3 - k)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(k(k^2 - 1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{(k+0)}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(k+1)}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(k-1)}[/mm]
>
> A = 0
> B = [mm]-\bruch{1}{(2)}[/mm]
> C = 0
>
> d.h.
>
> [mm]\bruch{B}{(k+1)*-2}[/mm] = 0
Du solltest folgendes Gleichungssystem bekommen:
A+B+C=0
C-B=0
-A=1
Deine Partialbruchzerlegung ist also leider nicht korrekt.
> Es muss aber laut Aufgabenstellung [mm]\infty[/mm] sein. Kann mir
> jemand weiterhelfen bzw. prüfen ob ich es überhaupt
> richtig mache ?
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 30.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
für k=0 => A = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 0
für k=-1 => B = - [mm] \bruch{1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = - 1,5
für k=1 => C = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 1,5
Oder liege ich falsch ? Kannst du mir helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 30.11.2015 | | Autor: | Chris84 |
> für k=0 => A = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 0
> für k=-1 => B = - [mm]\bruch{1}{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = - 1,5
> für k=1 => C = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = 1,5
>
> Oder liege ich falsch ? Kannst du mir helfen?
>
Huhu,
A kann doch nicht null sein ;)
M.Rex hat doch in seinem Beitrag bereits geschrieben, dass A = -1 ist ^^
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 30.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
Deswegen bitte ich ja um Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mo 30.11.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Deswegen bitte ich ja um Hilfe :)
Naja,
es waere einfacher, wenn du deine Rechnung gepostet haettest...
Du hast doch
[mm] $\frac{1}{k^3-k}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k-1}$
[/mm]
Multiplizieren mit [mm] $k^3-k$ [/mm] ergibt
[mm] $1=A(k^2-1)+Bk(k-1)+Ck(k+1)$.
[/mm]
Nun ausmultplizieren und Koeffizientenvergleich! Oder - ich ahne, was du getan hast, sagen wir mal, wir setzen $k = 0$ (ich verbitte mir hier jeglichen Kommentar ueber Existenz, oder Aehnliches :D ^^ ), dann erhalten wir:
$1 = A (0-1) + B [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] (0-1) + C [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] (k+1)=-A$, also $A = -1$.
Bitte auch darauf achten, dass ich noch 'nen weiteren Kommentar ueber die Reihen geschrieben habe ^^
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 30.11.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo
Huhu ;)
>
>
> > Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen mit
> Hilfe
> > einer Partialbruchzerlegung der Summanden:
> >
> > (a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n^{2}-1)}[/mm]
> > (b)
> > [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k^3 - k)}[/mm]
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n^{2}-1)}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{(4n^{2}-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(2n-1)}[/mm] +
> > [mm]\bruch{B}{(2n+1)}[/mm]
> >
> > A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > B = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > d.h.
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(2n-1)*2}[/mm] -
> > [mm]\bruch{B}{(2n+1)*2}[/mm] = 0 - 0 = 0
>
>
> Das stimmt so.
Das mag zwar sein, aber ich denke, dass hier was anderes gemeint ist ;)
Erstens muesste es doch
[mm]\bruch{1}{(2n-1)*2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(2n+1)*2}[/mm]
sein, wenn man $A$ und $B$ einsetzt ;)
Zweitens sind dies doch gerade die Bestandteile der Reihe, deren Grenzwert bestimmt werden soll. (Wir haben hier KEINE Folge vorliegen ^^)
Wenn ich mich jetzt nicht gerade extrem verschaue, muesste es sich hier um 'ne Teleskopsumme handeln ;)
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> >
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> > (b) [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k^3 - k)}[/mm]
> >
> > Dort habe ich versucht den Nenner zu zerlegen
> >
> > [mm]\bruch{1}{(k^3 - k)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(k(k^2 - 1)}[/mm] =
> > [mm]\bruch{A}{(k+0)}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(k+1)}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(k-1)}[/mm]
> >
> > A = 0
> > B = [mm]-\bruch{1}{(2)}[/mm]
> > C = 0
> >
> > d.h.
> >
> > [mm]\bruch{B}{(k+1)*-2}[/mm] = 0
>
> Du solltest folgendes Gleichungssystem bekommen:
>
> A+B+C=0
> C-B=0
> -A=1
>
> Deine Partialbruchzerlegung ist also leider nicht korrekt.
>
>
> > Es muss aber laut Aufgabenstellung [mm]\infty[/mm] sein. Kann mir
> > jemand weiterhelfen bzw. prüfen ob ich es überhaupt
> > richtig mache ?
>
> Marius
Gruss,
Chris
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