Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung das Integral [mm] \int\frac{x^2-2}{(x^2+4)*(x+1)}dx [/mm] |
Hi,
Zunächst habe ich das Integral umgeschrieben: [mm] \int\frac{a}{(x^2+4)}+\frac{b}{(x+1)}dx.
[/mm]
Dann habe ich die Inhalte unter den Integralen gleichgesetzt: [mm] \frac{x^2-2}{(x^2+4)*(x+1)}=\frac{a}{(x^2+4)}+\frac{b}{(x+1)}
[/mm]
Nach Umformen erhalte ich: [mm] x^2-2=x(a+bx)+a+4b
[/mm]
Und genau hier komm ich nich weiter...Vorschläge?!
|
|
| |
|
Hallo,
> Und genau hier komm ich nich weiter...Vorschläge?!
Gerne: richtigen Ansatz verwenden. Der Zählergrad sollte bei quadratischen Nennerfaktoren mit komplexen Nullstellen um eins kleiner sein als der Nennergrad. Mit
[mm] \bruch{x^2-2}{(x^2+4)*(x+1)}=\bruch{ax+b}{(x^2+4)}+\bruch{c}{x+1}
[/mm]
kommst du weiter. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
Vielen Dank,
jetzt habe ich die gleichung:
[mm] x^2-2=x^2(a+b)+x(a+b)+b+4c
[/mm]
Ich erhalte aber nur 2 Bedingungen, und zwar: a+b=1 und b+4c=-2
Wie komme ich auf die dritte?
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \bruch{x^2-2}{(x^2+4)*(x+1)}=\bruch{ax+b}{(x^2+4)}+\bruch{c}{(x+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2-2}{(x^2+4)*(x+1)}=\bruch{(ax+b)*(x+1)}{(x^2+4)*(x+1)}+\bruch{c*(x^2+4)}{(x^2+4)*(x+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2-2}{(x^2+4)*(x+1)}=\bruch{(ax+b)*(x+1)+c*(x^2+4)}{(x^2+4)*(x+1)}
[/mm]
[mm] x^2-2=ax^2+ax+bx+b+cx^1+4c
[/mm]
ich schreibe mal einen zusätzlichen Summanden auf
[mm] x^2+0x-2=(a+c)x^2+(a+b)x+b+4c
[/mm]
jetzt der Koeffizientenvergleich für [mm] x^2, x^1 [/mm] und [mm] x^0
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
danke jetzt hab ichs :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
Nochmal zur eigentlichen Aufgabe, dem integrieren:
Es gilt:
[mm] \int\frac{x^2-2}{(x^2+4)(x+1)}dx=\frac{6}{5}\int\frac{x-1}{(x^2+4)}dx-\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+1}dx
[/mm]
dabei ist [mm] \frac{1}{5}\int\frac{1}{x+1}dx=\frac{1}{5}ln(x+1)+C
[/mm]
Wie verfahre ich denn beim ersten summanden, da komme ich mit dem logarithmus nicht weiter...?
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> Nochmal zur eigentlichen Aufgabe, dem integrieren:
> Es gilt:
>
> [mm]\int\frac{x^2-2}{(x^2+4)(x+1)}dx=\frac{6}{5}\int\frac{x-1}{(x^2+4)}dx-\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+1}dx[/mm]
>
> dabei ist
> [mm]\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+1}dx=\frac{1}{5}ln(x+1)+C[/mm]
> Wie verfahre ich denn beim ersten summanden, da komme ich
> mit dem logarithmus nicht weiter...?
Das Integral wird zunächst aufgespalten:
[mm]\int\frac{x-1}{(x^2+4)} \ dx=\int\frac{x}{(x^2+4)} \ dx-\int\frac{1}{(x^2+4)} \ dx[/mm]
Für das erste Integral verwendest Du die Substitution [mm]z=x^{2}+4[/mm].
Für das zweite Integral verwendest Du die Substitution [mm]x=2*\tan\left(z}\right)[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
danke für deine antwort!
> Für das erste Integral verwendest Du die Substitution
> [mm]z=x^{2}+4[/mm].
hier komm ich noch mit^^ und ich erhalte [mm] \frac{1}{2}ln(x^2+4)
[/mm]
>
> Für das zweite Integral verwendest Du die Substitution
> [mm]x=2*\tan\left(z}\right)[/mm].
Wie kommst du denn hier auf die Substituion und wie verhält sich du zu dx
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \bruch{1}{2}*ln(x^2+4) [/mm] ist ok
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+4} dx}
[/mm]
die Substitution
x:=2*tan(z) sind Erfahrungswerte, frei nach dem Motto, Übung, Übung nochmals Übung
[mm] \bruch{dx}{dz}=2+2*tan^2(z)
[/mm]
[mm] dx=(2+2*tan^2(z))dz
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+4} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{4*tan^2(z)+4}*(2+2*tan^2(z)) dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{2+2*tan^2(z)}{4*tan^2(z)+4} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1+tan^2(z)}{2*tan^2(z)+2} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1+tan^2(z)}{2*(1+tan^2(z))} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2} dz}
[/mm]
das Integral ist ein Kinderspiel, dann noch Rücksubstitution
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:08 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
Vielen dank,
Nur noch eine frage:
> [mm]\bruch{dx}{dz}=2+2*tan^2(z)[/mm]
>
> [mm]dx=(2+2*tan^2(z))dz[/mm]
das ist mir noch unklar...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
Alles klar, hat sich erledigt:)
danke
hejo
als ergebnis habe [mm] \int\frac{1}{z}dz=\frac{1}{2}z+C. [/mm] Aus x=2tan(z) folgt [mm] z=arctan(\frac{x}{2}) [/mm] woraus folgt [mm] \int\frac{1}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}arctan(\frac{x}{2})
[/mm]
somit ergibt sich für das Integral
[mm] \int\frac{x^2-2}{(x^2+4)(x+1)}dx=\frac{1}{2}arctan(\frac{x}{2})+\frac{3}{5}ln(x^2+4)-\frac{1}{5}ln(x+1)+C=\frac{1}{2}arctan(\frac{x}{2})+\frac{1}{5}(ln\frac{(x^2+4)^3}{x+1})+C
[/mm]
ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
Eine Idee hätte ich noch:
[mm] \frac{3}{5}\int\frac{2x+2}{x^2+4}dx=\frac{3}{5}(\int\frac{2x}{x^2+4}dx-\int\frac{2}{x^2+4}dx)
[/mm]
[mm] \int\frac{2x}{x^2+4}dx=ln(x^2+4)+C
[/mm]
und
[mm] \int\frac{2}{x^2+4}dx=? [/mm] wie war das hier nochmal?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 03.07.2012 | | Autor: | Hejo |
als ergebnis für das Integral habe ich:
[mm] \int\frac{x^2-2}{(x^2+4)(x+1)}dx=-\frac{3}{5}arctan(\frac{x}{2})+\frac{3}{5}ln(x^2+4)-\frac{1}{5}ln(x+1)+C=-\frac{3}{5}arctan(\frac{x}{2})+\frac{1}{5}(ln\frac{(x^2+4)^3}{x+1})+C
[/mm]
ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Hejo,
> als ergebnis für das Integral habe ich:
>
> [mm]\int\frac{x^2-2}{(x^2+4)(x+1)}dx=-\frac{3}{5}arctan(\frac{x}{2})+\frac{3}{5}ln(x^2+4)-\frac{1}{5}ln(x+1)+C=-\frac{3}{5}arctan(\frac{x}{2})+\frac{1}{5}(ln\frac{(x^2+4)^3}{x+1})+C[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> ist das so richtig?
Ja!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
