Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{1}{x^4-4}dx} [/mm] |
Dieses Integral muss ich mit Partialbruchzerlegung lösen.
Nun habe ich folgende Frage:
Der Nenner lautet: [mm] x^4-4
[/mm]
Diesen kann ich zerlegen in : [mm] (x^2-2)(x^2+2) [/mm]
Bei +2 bekomme ich komplexe Nullstellen, deshlab lautet der Zähler doch C+Dx
Aber Der Term mit -2 kann noch weiter zerlegt werden in (x-Wurzel2)(x+Wurzel2)
Dann wäre der Zähler A und B....
In der Uni haben wir aber den Nenner als [mm] x^2-2 [/mm] stehen gelassen...
Das sind doch reele Nullstellen und müssen dann wie oben zerlegt werden,
in der Übung haben wir aber [mm] x^2-2 [/mm] nicht weiter zerlegt und als Zähler A+Bx genommen.....
Das verstehe ich nicht, wieso wir Terme mit reelen Nullstellen nicht weiter zerlegen!! Auch in der Literatur steht, dass Terme mit reelen Nullstellen weiter zerlegt werden..
Oder ist Wurzel2 nicht reell??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
man kann, muss aber nicht die [mm] x^2-2 [/mm] weiter zerlegen, es kommt doch nur darauf an, ob du eine Stammfunktion zu der Zerlegung findest. wenn du direkt eine fuer den ausgangsbruch faendest, wuerdest du auch nicht zerlegen! etwa wenn da stuende [mm] x^3/(x^4-1)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:21 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
ABer wenn ich es weiter zerlege bekomme ich etwas anderes raus....
Also müsste es prinzipiell funktionieren??
Außerdem müsste ich doch dann zb. Das Integral: [mm] \bruch{x+3}{x^2-1}
[/mm]
garnicht partialbruchzerlegen....
sondern könnte den Nenner so lassen und als ZÄhler A+Bx schreiben...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 29.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> ABer wenn ich es weiter zerlege bekomme ich etwas anderes raus....
Auch hier gilt: bitte vorrechnen, was Du meinst, was Du heraus bekommst ...
> Außerdem müsste ich doch dann zb. Das Integral: [mm]\bruch{x+3}{x^2-1}[/mm]
> garnicht partialbruchzerlegen....
Doch, das solltest Du.
> sondern könnte den Nenner so lassen und als ZÄhler A+Bx schreiben...
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Und dann? Das verstehe ich nicht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
Wenn ich jetzt das Beispiel [mm] \integral{\bruch{x+3}{x^2-1}dx} [/mm] nehme. Dann kann ich folgenden Ansatz nehmen: [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1} [/mm] dann erhalten ich am Ende für das Integral: 2ln(x-1)-ln(x+1)+C
Wenn ich diesen Ansatz nehme: [mm] \bruch{A+Bx}{x^2-1}
[/mm]
Dann bekomme ich für das Integral [mm] -3(arctanh(x))+ln(x^2-1)
[/mm]
Und ist das nun das gleiche.. also ist es egal ob ich es so wie ganz oben mache oder wie in der mitte....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
Erste Variante:
[mm] \integral{\bruch{x+3}{x^2-1}dx} [/mm]
PBZ: [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}
[/mm]
Zähler gleichsetzen: x+3=A(x+1)+B(x-1)
darausfolgt: A=2 und B=-1
Also gilt: [mm] \integral{\bruch{2}{x-1}* \bruch{-1}{x+1} dx} [/mm] = 2ln(x-1)-ln(x+1)+C
Zweite Variante:
[mm] \bruch{A+Bx}{x^2-1}
[/mm]
Zähler vergeichen: x+3=A+Bx
darausfolgt: A=3 und B=1
[mm] \integral{\bruch{3+x}{x^2-1}dx}=\integral{\bruch{3}{x^2-1}dx}+\integral{\bruch{x}{x^2-1}dx}=
[/mm]
[mm] (-3)(arctanh(x))+ln(x^2-1)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 So 29.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Erste Variante:
>
> [mm]\integral{\bruch{x+3}{x^2-1}dx}[/mm]
> PBZ: [mm]\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}[/mm]
> Zähler gleichsetzen: x+3=A(x+1)+B(x-1)
> darausfolgt: A=2 und B=-1
Das sieht gut aus.
>
> Also gilt: [mm]\integral{\bruch{2}{x-1}* \bruch{-1}{x+1} dx}[/mm] =
> 2ln(x-1)-ln(x+1)+C
Korrekt.
>
> Zweite Variante:
>
> [mm]\bruch{A+Bx}{x^2-1}[/mm]
> Zähler vergeichen: x+3=A+Bx
> darausfolgt: A=3 und B=1
>
> [mm]\integral{\bruch{3+x}{x^2-1}dx}=\integral{\bruch{3}{x^2-1}dx}+\integral{\bruch{x}{x^2-1}dx}=[/mm]
> [mm](-3)(arctanh(x))+ln(x^2-1)[/mm]
Das Aufspalten kann man in der Tat machen, aber die Stammfunktion zu [mm] f(x)=\frac{1}{x^{2}-1} [/mm] ist nicht [mm] F(x)=\arctan(x)
[/mm]
Denn:
[mm] F(x)=\arctan(x)
[/mm]
hat die Ableitung
[mm] F'(x)=\frac{1}{x^{2}\red{+}1}
[/mm]
Außerdem hast du bei der Stammfunktion des zweiten Integrales den Faktor vergessen:
[mm] \integral{\bruch{x}{x^2-1}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{\frac{1}{2}\cdot2x}{x^2-1}dx}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\integral{\bruch{2x}{x^2-1}dx}
[/mm]
Nun hast du ein Integral der Form [mm] \int\frac{g'(x)}{g(x)}dx
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
zum arctanh:
Es geht um folgenden Teil: [mm] \integral{\bruch{3}{x^2-1}dx}
[/mm]
dann habe ich -3 vor das integral gezogen damit habe ich dann:
[mm] -3\integral{\bruch{1}{1-x^2}dx}
[/mm]
und damit habe ich dann den arctanh!
Beim zweiten Integral: [mm] \integral{\bruch{x}{x^2-1}dx}
[/mm]
habe ich wie du schon gesagt hast f'/f deshalb habe ich als Stammfunktion log(f(x)) also [mm] log(x^2-1)....
[/mm]
Oder habe ich da etwas falsch gemacht...
Es müsste aber doch prinzipiell das richtige bei beiden Varianten rauskommen.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 29.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> zum arctanh:
>
> Es geht um folgenden Teil: [mm]\integral{\bruch{3}{x^2-1}dx}[/mm]
> dann habe ich -3 vor das integral gezogen damit habe ich
> dann:
> [mm]-3\integral{\bruch{1}{1-x^2}dx}[/mm]
> und damit habe ich dann den arctanh!
Nein, den hätterst du bei +1 im Nenner.
>
> Beim zweiten Integral: [mm]\integral{\bruch{x}{x^2-1}dx}[/mm]
> habe ich wie du schon gesagt hast f'/f deshalb habe ich
> als Stammfunktion log(f(x)) also [mm]log(x^2-1)....[/mm]
Ja.
>
> Oder habe ich da etwas falsch gemacht...
> Es müsste aber doch prinzipiell das richtige bei beiden
> Varianten rauskommen.....
Kommt es auch, wenn du die auf den beiden Wegen enstehenden Stammfunktionen umformst.
Beachte:
[mm] \ln(x^{2}-1)=\ln((x-1)(x+1))=\ln(x-1)+\ln(x+1)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
ahhh.. ich sehe gerade ich hab mich verlesen,
die Stammfunktion ist die Areafunktion also artanh(x)
und der artanh ist [mm] 1/2(ln\bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
aber wie komme ich dann zum gleichen ergebnis????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 29.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> ahhh.. ich sehe gerade ich hab mich verlesen,
>
> die Stammfunktion ist die Areafunktion also artanh(x)
> und der artanh ist [mm]1/2(ln\bruch{1+x}{1-x}[/mm]
So ist es
>
> aber wie komme ich dann zum gleichen ergebnis????
Mit den Logarithmengesetzen, es gilt:
[mm]\frac{1}{2}\cdot\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{2}\cdot\left(\ln(1+x)-\ln(1-x)\right)[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
ok wenn ich dann beide Stammfunktionen zusammen führe habe ich:
[mm] (-3)\bruch{1}{2} [/mm] (ln(1+x)-ln(1-x))+ln(x-1)+ln(x+1)
Und dann... da komme ich doch nie auf 2ln(x-1)-ln(x+1)+C
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die stammfunktion zu [mm] x/(x^2-1) [/mm] ist falsch bei dir, da fehlt ein faktor 1/2, leite ab, dann siehst du es.
dann kommst du mit dem Vergleich auch hin.
grus leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
