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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mo 30.05.2011 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{\gamma_{3}}^{}{\bruch{e^{-z}}{(z+2)^3} dz}
[/mm]
[mm] \gamma_{3} [/mm] ist der Kreis mit Radius 3 um den Ursprung |
Guten Abend zusammen!
Also ich werd noch kirre 
Ich versuch schon seit einer gefühlten Ewigkeit diese Aufgabe zu lösen.
Sieht eigentlich nicht so schwer aus. Aber ich kann weder Cauchy Integralformeln anwenden (wegen der 3-fachen Singularität), noch eine sinnvolle Partialbruchzerlegung machen.
Mein Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist:
[mm] \bruch{1}{(z+2)^3}=\bruch{A}{z+2}+\bruch{B}{(z+2)^2}+\bruch{C}{(z+2)^3}
[/mm]
Und ich krieg einfach auf alle Möglichkeiten A=B=0, C=1 raus. Also nichts neues...
Kann mir irgendjemand helfen?
Ich wäre euch soooo dankbar!!!
Vielen Dank schonmal! Und beste Grüße!
skoopa
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Hallo skoopa,
in der Tat bringt PBZ hier nur das, was Du auch gefunden hast.
Vielleicht hilft Dir die ![[]](/images/popup.gif) Lösung von Wolfram weiter? Ich finde, das sieht eher nach partieller Integration aus.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:13 Di 31.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{\gamma_{3}}^{}{\bruch{e^{-z}}{(z+2)^3} dz}[/mm]
>
> Guten Abend zusammen!
> Also ich werd noch kirre
> Ich versuch schon seit einer gefühlten Ewigkeit diese
> Aufgabe zu lösen.
> Sieht eigentlich nicht so schwer aus. Aber ich kann weder
> Cauchy Integralformeln anwenden (wegen der 3-fachen
> Singularität), noch eine sinnvolle Partialbruchzerlegung
> machen.
> Mein Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist:
>
> [mm]\bruch{1}{(z+2)^3}=\bruch{A}{z+2}+\bruch{B}{(z+2)^2}+\bruch{C}{(z+2)^3}[/mm]
> Und ich krieg einfach auf alle Möglichkeiten A=B=0, C=1
> raus. Also nichts neues...
> Kann mir irgendjemand helfen?
Schreibe zuerst um [mm] $e^{-z} [/mm] = [mm] e^{-(z+2)+2} [/mm] = [mm] e^2\:e^{-(z+2)}$
[/mm]
Die e-Funktion kannst du als Exponentialreihe schreiben: [mm] $e^{-(z+2)} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{(z+2)^k}{k!}$
[/mm]
Das setzen wir ins Integral ein:
[mm] $\integral_{\gamma_{3}}^{}{\bruch{e^{-z}}{(z+2)^3} dz} [/mm] = [mm] e^2 \integral_{\gamma_{3}}^{}\bruch{\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{(z+2)^k}{k!}}{(z+2)^3}dz [/mm] = [mm] $e^2 \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k!}\integral_{\gamma_{3}}^{}(z+2)^{k-3}dz$
[/mm]
Die Reihe kannst du rausziehen weil alles schön gleichmäßig konvergiert usw.
Jetzt kannst du weiter vereinfachen, indem du ein bisschen mit Cauchyschem Integralsatz argumentierst. Zunächst gilt: [mm] \integral_{\gamma_{3}}^{}(z+2)^{k-3}dz [/mm] = [mm] \integral_{\gamma_{3}+2}^{}z^{k-3}dz$
[/mm]
wobei [mm] $\gamma_{3}+2$ [/mm] symbolisch steht für den um 2 nach rechts verschobene Kreis mit Radius 2. Mit der Holomorphie auf [mm] $\IC\backslash\{0\} [/mm] folgt aber gleich: [mm] $\integral_{\gamma_{3}+2}^{}z^{k-3}dz [/mm] = [mm] \integral_{\gamma_{1}}z^{k-3}dz$ [/mm] da die Singularität ja weiterhin im Integrationsbereich liegt.
Nun habt ihr sicher in der Vorlesung gehabt, dass [mm] $\integral_{\gamma_{1}}z^k [/mm] dz = 0$ für $k [mm] \not=-1$ [/mm] und [mm] $\integral_{\gamma_{1}}z^k [/mm] dz = [mm] 2\pi [/mm] i$ für $k=-1$
In der Reihe über die Integrale bleibt also nur der $k=2$ Term stehen, alle anderen verschwinden. Damit erhälst du:
[mm] $e^2 \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k!}\integral_{\gamma_{3}}^{}(z+2)^{k-3}dz [/mm] = [mm] e^2 (-1)^2 \frac{1}{2!}\; 2\pi [/mm] i = [mm] e^2\pi [/mm] i$
Hoffe ich habe mich da nirgendwo vertan.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{\gamma_{3}}^{}{\bruch{e^{-z}}{(z+2)^3} dz}[/mm]
>
> Guten Abend zusammen!
> Also ich werd noch kirre
Ich auch ! Aber nur weil Du verschweigst, was [mm] \gamma_3 [/mm] ist ! Wie soll man Dir helfen ohne diese Information ?
Ist z.B. $ [mm] \gamma_3 (t)=-2+e^{it}$ [/mm] ($t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$), [/mm] so ist , mit [mm] $f(z):=e^{-z}$, [/mm] wegen der Cauchyschen Integralformel:
[mm] $f^{(2)}(-2)= \bruch{2!}{2 \pi i}\integral_{\gamma_{3}}^{}{\bruch{e^{-z}}{(z+2)^3} dz}$
[/mm]
Ist aber $ [mm] \gamma_3 (t)=4711+re^{it}$ [/mm] ($t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$), [/mm] so ist, wegen des Cauchyschen Integralsatzes,
$ [mm] \integral_{\gamma_{3}}^{}{\bruch{e^{-z}}{(z+2)^3} dz}=0$
[/mm]
Also: was ist [mm] \gamma_3 [/mm] ???????
Edit: reverend hat mich darauf aufmerksam gemacht, dass Du in einer Mitteilung schreibst:
" ...Und zwar ist $ [mm] \gamma_{3} [/mm] $ die positiv durchlaufene Kreislinie mit Radius 3. Falls das die Geschichte irgendwie ändern sollte... "
Wenn Du noch den Mittelpunkt mitgeteilst hättest, wärs perfekt ...
FRED
> Ich versuch schon seit einer gefühlten Ewigkeit diese
> Aufgabe zu lösen.
> Sieht eigentlich nicht so schwer aus. Aber ich kann weder
> Cauchy Integralformeln anwenden (wegen der 3-fachen
> Singularität), noch eine sinnvolle Partialbruchzerlegung
> machen.
> Mein Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist:
>
> [mm]\bruch{1}{(z+2)^3}=\bruch{A}{z+2}+\bruch{B}{(z+2)^2}+\bruch{C}{(z+2)^3}[/mm]
> Und ich krieg einfach auf alle Möglichkeiten A=B=0, C=1
> raus. Also nichts neues...
> Kann mir irgendjemand helfen?
> Ich wäre euch soooo dankbar!!!
> Vielen Dank schonmal! Und beste Grüße!
> skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Di 31.05.2011 | | Autor: | reverend |
Moin Fred!
Was [mm] \gamma_3 [/mm] ist, steht in einer nachgereichten Mitteilung oben: "die positiv durchlaufene Kreislinie mit Radius 3".
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred!
>
> Was [mm]\gamma_3[/mm] ist, steht in einer nachgereichten
> Mitteilung oben: "die
> positiv durchlaufene Kreislinie mit Radius 3".
Moin rev,
das hatte ich überlesen. Dennoch stellt sich die Frage nach dem Mittelpunkt !
Wenn ich unterstelle, dass
[mm] \gamma_3(t) [/mm] = [mm] 3e^{it} [/mm] (0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi),
[/mm]
so ist , wie ich oben schrieb, nach der Cauchyschen Integralformel das Integral =
[mm] $\pi i*f^{(2)}(-2)$
[/mm]
wobei [mm] f(z)=e^{-z} [/mm] ist.
Also ist das Integral= [mm] $\pi i*e^2$
[/mm]
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Di 31.05.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey Fred!
Ja tut mir leid. War dann vielleicht doch etwas zu spät für mich gestern...
Der Kreismittelpunkt ist der Ursprung.
Hab es inzwischen auch hingekriegt meine Frage zu editieren.
Beste Grüße!
skoopa
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