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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mi 18.05.2011
Autor: mathefreak89

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}\bruch{1}{t^3+3t^2-4} \, [/mm] dx

Hallöchen:)

Obrige Aufgabe soll mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst werden.

Da wir eine echt gebrochenrationale Funktion haben habe ich direkt den nenner in Linearfaktoren zerlegt:

[mm] t_1=1 [/mm] also (t-1)

und die Polynomdivision liefert bei mir [mm] t^2+4t+4=(t+2)^2 [/mm]

Somit komme ich zu:

[mm] \bruch{1}{t^3+3t^2-4}=\bruch{A}{t-1}+\bruch{B}{t+2}+\bruch{C}{(t+2)^2} [/mm]

Die rehcte Seite bringe ich auf den gleichen Nenner was zu:

[mm] 1=A(t+2)(t+2)^2+B(t-1)(t+2)^2+C(t-1)(t+2) [/mm]

Was mich zu

[mm] 1=(A+B)t^3+(6A+3B+C)t^2+(12A+C)t+8A-4B-2C [/mm]

bringt und zum folgenden Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich:

A+B=0
6A+3B+C=0
12A+C=0
8A-4B-2C=1

Hier fängt mein Problem an komme irgendwie nicht auf die richtigen Werte von A ,B und C?

Ist das ganze bis zu dem Punkt richtig=??

Danke euch mfg mathefreak




        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo mathefreak89,

> [mm]\integral_{}^{}\bruch{1}{t^3+3t^2-4} \,[/mm] dx
> Hallöchen:)
>
> Obrige Aufgabe soll mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
> gelöst werden.
>
> Da wir eine echt gebrochenrationale Funktion haben habe ich
> direkt den nenner in Linearfaktoren zerlegt:
>
> [mm]t_1=1[/mm] also (t-1)
>
> und die Polynomdivision liefert bei mir [mm]t^2+4t+4=(t+2)^2[/mm] [ok]
>
> Somit komme ich zu:
>
> [mm]\bruch{1}{t^3+3t^2-4}=\bruch{A}{t-1}+\bruch{B}{t+2}+\bruch{C}{(t+2)^2}[/mm] [ok]
>
> Die rehcte Seite bringe ich auf den gleichen Nenner was
> zu:
>
> [mm]1=A(t+2)(t+2)^2+B(t-1)(t+2)^2+C(t-1)(t+2)[/mm] [notok]

Der (kleinste) gemeinsame Nenner ist doch [mm](t-1)(t+2)^2[/mm], was dem Nenner linkerhand entspricht. Und den willst du ja haben, damit du die Zähler auf beiden Seiten vergeichen kannst.

Erweitere also den ersten Bruch mit [mm](t+2)^2[/mm], den zweiten Bruch mit [mm](t-1)(t+2)[/mm] und den letzten Bruch mit [mm](t-1)[/mm], was dich zu

[mm]1=A(t+2)^2+B(t-1)(t+2)+C(t-1)[/mm] führt ...

>
> Was mich zu
>
> [mm]1=(A+B)t^3+(6A+3B+C)t^2+(12A+C)t+8A-4B-2C[/mm]
>
> bringt und zum folgenden Gleichungssystem durch
> Koeffizientenvergleich:
>
> A+B=0
> 6A+3B+C=0
> 12A+C=0
> 8A-4B-2C=1
>
> Hier fängt mein Problem an komme irgendwie nicht auf die
> richtigen Werte von A ,B und C?
>
> Ist das ganze bis zu dem Punkt richtig=??

Leider nicht, der Ansatz war aber richtig!

>
> Danke euch mfg mathefreak

Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Mi 18.05.2011
Autor: mathefreak89

okay bin jetz auf die Gleiche form gekommen wie du allerdings bekomme ich es immer noch nich hin das Gleichungssystem zu lösen.
Ich weiß auch nich was los is  hab für
[mm] (A+B)t^2+(4A+B+C)t+4A-2B-C [/mm]

A+B=0
4A+B+C=0
4A-2B-C=1

folgende Lösungen raus B=-1/3  C=0   A 3/2


Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> okay bin jetz auf die Gleiche form gekommen wie du
> allerdings bekomme ich es immer noch nich hin das
> Gleichungssystem zu lösen.
> Ich weiß auch nich was los is hab für
> [mm](A+B)t^2+(4A+B+C)t+4A-2B-C[/mm] [ok]
>
> A+B=0 [ok]
> 4A+B+C=0 [ok]
> 4A-2B-C=1 [ok]
>
> folgende Lösungen raus B=-1/3 C=0 A 3/2

Das stimmt nicht, da musst du nochmal nachrechnen.

Löse die erste Gleichung meinetwegen nach B auf, setze das in die zweite ein und löse nach C auf.

Dann setze B aus 1) und C aus 2) in die dritte Gleichung ein, dann hast du $A$

Damit in die erste Gleichung, um B abzugreifen ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Mi 18.05.2011
Autor: mathefreak89

Hab jetz als Stammfunktion

[mm] F(t)=\bruch{1}{9}*ln(t-1)-\bruch{1}{9}ln(t+2)+\bruch{1}{3}*\bruch{1}{t+2} [/mm] raus

mit A=1/9 B=-1/9 und C=-1/3

Ist das so Richtig=?

Und ist [mm] \bruch{1}{(t+2)^2} [/mm]  ein Stammintegral?? habs umgeschrieb zu [mm] (t+2)^{-2} [/mm] und dann integriert geht das auch schneller /einfacher??

danke dir mathefreak
Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mi 18.05.2011
Autor: fred97

Alles korrekt

FRED
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