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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von:
[mm] \bruch{x^4}{x^3-x^2+x-1}. [/mm] |
Hallo!
Also ich habe nochmal eine Frage zu der Partialbruchzerlegung:
Erstmal muss ich ja Polynomdivision machen, mit meiner ersten (geratenen) NS [mm] x_{1}=1:
[/mm]
[mm] (x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1
[/mm]
[mm] \rightarrow x_{2,3}=\pm [/mm] i
Ist der Ansatz
[mm] x^4=A(x-i)(x+i)+B(x-1)(x+i)+C(x-1)(x-i)
[/mm]
richtig?
Ich muss ja nur eine reelle zerlegung machen, aber hier habe ich ja 2 komplexe Nullstellen? Was heißt das für meine Rechnung?
Danke, schöne Grüße, stffn.
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Hallo stffn,
in einer reellen Partialbruchzerlegung werden komplexe Nullstellen nicht beachtet; bei Dir bleibt also die Zerlegung [mm] (x-1)(x^2+1), [/mm] siehe unten.
Allerdings brauchst Du eine ganz andere Polynomdivision: der Grad des Zählerpolynoms muss ja echt kleiner sein als der des Nennerpolynoms.
Schließlich hast Du dann den Ansatz [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2+1}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
> Allerdings brauchst Du eine ganz andere Polynomdivision:
> der Grad des Zählerpolynoms muss ja echt kleiner sein als
> der des Nennerpolynoms.
Was genau ist mit "ganz andere" gemeint.
Muss ich [mm] (x^4):(x^3-x^2+x-1)=x+\bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}
[/mm]
berechnen und dann mit dem echtrationalen Bruch weitermachen?
in jedem Fall komme ich auf den folgenden KVGL:
[mm] x^4=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)
[/mm]
woraus folgt: A=B=C=0.
Wenn das stimmt, wie ist denn dann mein Ergebnis??
[mm] \bruch{x^4}{x^3-x^2+x-1}=x [/mm] ???
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Hallo,
> > Allerdings brauchst Du eine ganz andere Polynomdivision:
> > der Grad des Zählerpolynoms muss ja echt kleiner sein als
> > der des Nennerpolynoms.
>
> Was genau ist mit "ganz andere" gemeint.
> Muss ich
> [mm](x^4):(x^3-x^2+x-1)=x+\bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}[/mm]
Das ist die richtige PD, aber nicht vollst., der Nennergrad ist noch nicht kleiner als der Zählergrad.
Du bekommst: [mm]x^4:(x^3-x^2+x-1)=x+1+[/mm] Restterm, der ganz einfach ist 
Von dem Restterm dann die PBZ machen ...
> berechnen und dann mit dem echtrationalen Bruch
> weitermachen?
>
> in jedem Fall komme ich auf den folgenden KVGL:
>
> [mm]x^4=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)[/mm]
>
> woraus folgt: A=B=C=0.
>
> Wenn das stimmt, wie ist denn dann mein Ergebnis??
> [mm]\bruch{x^4}{x^3-x^2+x-1}=x[/mm] ???
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
Achsoo, ich dachte, dass der Grad von Zähler und Nenner auch gleich seien können.
Also ich habe nochmal eine PD gemacht:
[mm] \bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}=1+\bruch{1}{x^3-x^2+x-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)
[/mm]
[mm] C=\bruch{-1}{2}=B
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also wäre das Ergebnis [mm] x+1+\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}+\bruch{\bruch{-1}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^2+1}
[/mm]
Und ist das jetzt richtig?
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Hallo stffn,
> Achsoo, ich dachte, dass der Grad von Zähler und Nenner
> auch gleich seien können.
> Also ich habe nochmal eine PD gemacht:
>
> [mm]\bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}=1+\bruch{1}{x^3-x^2+x-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)[/mm]
>
> [mm]C=\bruch{-1}{2}=B[/mm]
> [mm]A=\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Also wäre das Ergebnis
> [mm]x+1+\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}+\bruch{\bruch{-1}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^2+1}[/mm]
Das erste "x" hat hier nichts zu suchen:
[mm]1+\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}+\bruch{\bruch{-1}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^2+1}[/mm]
>
> Und ist das jetzt richtig?
Mit der angebrachten Korrektur ist das richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
Hm ich dachte ich muss das x mitnehmen von der ersten PD.
Aber ok. Danke!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Di 14.12.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo stffn,
> Hm ich dachte ich muss das x mitnehmen von der ersten PD.
Die hatte ich natürlich nicht berücksichtigt.
Dann muss Du das x von der ersten PD mitnehmen.
>
> Aber ok. Danke!!!
Gruss
MathePower
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