Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung folgender rationaler Funktion
[mm] $r(x)=\bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2}$
[/mm]
[mm] $r(x)=\bruch{x^2-2ix-3}{x^3-ix^2-x+i}$ [/mm] |
Leider habe ich gar keinen Ansatz zu dieser Aufgabe und wäre für jedne Tipp dankbar. Wie muss ich da denn was umformen, ich komme nicht so dahinter, weder mit dem was im Skript steht noch mit dem aus wiki.
Vielen dank schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung folgender
> rationaler Funktion
> [mm]r(x)=\bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2}[/mm]
>
> [mm]r(x)=\bruch{x^2-2ix-3}{x^3-ix^2-x+i}[/mm]
> Leider habe ich gar keinen Ansatz zu dieser Aufgabe und
> wäre für jedne Tipp dankbar. Wie muss ich da denn was
> umformen, ich komme nicht so dahinter, weder mit dem was im
> Skript steht noch mit dem aus wiki.
>
> Vielen dank schonmal.
>
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Wandle zunächst in beiden funktionen die nenner in linearfaktoren um.
ps: Eine geratene Nullstelle für die erste Funktion wäre [mm] x_1=2, [/mm] für die 2. funktion [mm] x_1=1
[/mm]
danach schauen wir mal weiter wie wir den ansatz zusammenbasteln!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
also bei der ersten bekomme ich als linearfaktor vom Nenner folgendes raus:
[mm] (x-2)(x^2+2x+1)
[/mm]
beim 2. weiß ich nicht wie ich das da mit dem i machen soll....
lg
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> also bei der ersten bekomme ich als linearfaktor vom Nenner
> folgendes raus:
> [mm](x-2)(x^2+2x+1)[/mm]
den 2. faktor kannst du noch weiter zerlegen
>
> beim 2. weiß ich nicht wie ich das da mit dem i machen
> soll....
mit dem hornerschema.. [mm] x_1=1 [/mm] raten, dann [mm] x_2=-1 [/mm] und den letzten faktor findest du dann am ende..
alternativ geht auch 1. stelle raten, dann weiter mit pq-formel
>
> lg
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
okay, ich glaube das weite lass ich erst mal einfach weg, bin eigentlich schon froh wenn ich das erste raus bekomme....
wenn ich den ersten weiter zerlege komme ich auf
(x-2)(x+4)(x-2) Rest 9
ob das wirklich richtig ist weiß ich leider nicht :-(
lg
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Hallo, leider nicht korrekt, du möchtest die Nullstellen von [mm] x^{3}-3x-2, [/mm] du kennst schon x=2, jetzt Polynomdivision, du bekommst [mm] x^{2}+2x+1, [/mm] jetzt gleich Null setzen und die p-q-Formel benutzen, schneller geht es, wenn du eine Binomische Formel benutzt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
ah natürlich, dann komme ich auf:
[mm] $(x+1)^2$
[/mm]
aber wie mache ich nun weiter?
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> ah natürlich, dann komme ich auf:
> [mm](x+1)^2[/mm]
>
> aber wie mache ich nun weiter?
du hattest als ausgangsfunktion
[mm] r(x)=\bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2} [/mm] durch linearfaktorzerlegung ist das gleich
[mm] \bruch{6x^2+5x-16}{(x-2)*(x+1)^2} [/mm] und nun macht man den ansatz dazu:
[mm] \bruch{6x^2+5x-16}{(x-2)*(x+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}
[/mm]
nun erstmal mit dem hauptnenner (nenner von der linken seite) alles durchmultiplizieren(und kürzen!)
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Do 14.01.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, kleiner Hinweis, Nenner vom 2. Bruch: x+1, 3. Bruch: [mm] (x+1)^{2} [/mm] Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Do 14.01.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo, kleiner Hinweis, Nenner vom 2. Bruch: x+1, 3. Bruch:
> [mm](x+1)^{2}[/mm] Steffi
oh gott, dieses copy-paste wird mich irgendwann noch kopf und kragen kosten 
danke für die aufmerksamkeit!
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
wie meinst du das nun genau? soll ich jetzt im Prinzip z.B. bei A folgendes ausrechnen?
[mm] $(x-2)(x+1)^2(x-2)$
[/mm]
oder was genau soll ich da ausmultiplizieren?
Danke nochmals....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Do 14.01.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, rechte Seite den Hauptnenner bestimmen, dann die Brüche entsprechend erweitern, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
oh gott, hoffentlich stimmt es...naja hier einfach mal meine Lösung auch auf die Gefahr hin mich zu blamieren -.-
[mm] $\bruch{Ax^2+2A+A}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Bx^2+Bx-2B}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Cx-2C}{(x-2)(x+1)^2}$
[/mm]
Ich danke euch jetzt schon
lg
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> oh gott, hoffentlich stimmt es...naja hier einfach mal
> meine Lösung auch auf die Gefahr hin mich zu blamieren
> -.-
>
> [mm]\bruch{Ax^2+2A+A}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Bx^2+Bx-2B}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Cx-2C}{(x-2)(x+1)^2}[/mm]
>
>
> Ich danke euch jetzt schon
>
> lg
was auch immer hier geschehen ist, richtig wäre der folgende weg:
$ [mm] \bruch{6x^2+5x-16}{(x-2)\cdot{}(x+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2} [/mm] $ war ja die ausgangsfunktion (korrigiert, hatte das im 1. post falsch kopiert). nun mit dem hauptnenner multiplizieren (das ist [mm] (x-2)(x+1)^2):
[/mm]
[mm] 6x^2+5x-16=A*(x+1)^2+B*(x-2)*(x+1)+C*(x-2)
[/mm]
und nun durch geschicktes einsetzen (x=-1; x=2) die Konstanten bestimmen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
Also für die Konstanten habe ich das hier raus:
A=-27
[mm] B=-31\bruch{1}{2}
[/mm]
C=18
ich hab das verdammt gefühl, dass dies auch falsch ist :-(
lg
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> Also für die Konstanten habe ich das hier raus:
> A=-27
> [mm]B=-31\bruch{1}{2}[/mm]
> C=18
>
> ich hab das verdammt gefühl, dass dies auch falsch ist
> :-(
>
> lg
jap, stimmt nicht einer von.. was hast du denn gerechnet?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
ja ich habe einfach in:
[mm] $6x^2+5x-16$ [/mm] einmal x=-1 und einmal x=2 eingesetzt. Dadurch bin ich auf A und auf C gekommen.
Bei B habe ich dann x=0 eingesetzt um auf B zu kommen und dadurch bin ich dann auf B=1A-2B-2C und das ganze dann nach B aufgelöst.
Das hat bei mir eben dann -31,5 ergeben.
Das stimmt auch wahrscheinlich nicht....
lg
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> ja ich habe einfach in:
> [mm]6x^2+5x-16[/mm] einmal x=-1 und einmal x=2 eingesetzt. Dadurch
> bin ich auf A und auf C gekommen.
>
> Bei B habe ich dann x=0 eingesetzt um auf B zu kommen und
> dadurch bin ich dann auf B=1A-2B-2C und das ganze dann nach
> B aufgelöst.
> Das hat bei mir eben dann -31,5 ergeben.
> Das stimmt auch wahrscheinlich nicht....
>
> lg
$ [mm] 6x^2+5x-16=A\cdot{}(x+1)^2+B\cdot{}(x-2)\cdot{}(x+1)+C\cdot{}(x-2) [/mm] $
ich setz mal x=-1 ein, damit entfallen die klammern (x+1) alle:
[mm] 6*1^2+5*(-1)-16=A*(0)+B*(0)+C*(-1-2)
[/mm]
[mm] \gdw -15=C*(-3)\gdw [/mm] C=5
nun du die anderen beiden
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
ehm aber was ist denn mit (x-2) bei B?
warum wird das bei dir auch (0) wenn du x=-1 einsetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 14.01.2010 | | Autor: | fencheltee |
B*(x-2)*(x+1) mit x=-1 wird zu
B*(-1-2)*(-1+1)=B*(-3)*(0)=?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
natürlich, entschuldigung für die frage....
Also für A habe ich das hier gerechnet:
x=2
[mm] 6*2^2+5(2)-16=A(2+1)^2+B(0)+C(0)
[/mm]
18=9A
A=2
hoffe das stimmt jetzt mal...leider weiß ich nicht wie ich jetzt auf B komme, da ja B sowohl bei x=-1 und x=2 B(0) wird....
lg
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Hallo, du hast nun A=2 und C=5, du hast das Problem für x=-1 und x=2 richtig erkannt, damit das nicht passiert nehme z.B. x=0
-16=2*1+B*(-2)*1+5*(-2)
B= ...
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
ok, dann komme ich auf B=4
somit müsste die Lösung für die erste Aufgabe folgende sein:
[mm] \bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2}=\bruch{2}{x-2}+\bruch{4}{x+1}+\bruch{5}{(x+1)^2}
[/mm]
sein oder?
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Hallo und perfekt, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Do 14.01.2010 | | Autor: | Tolpi |
Super, vielen vielen Dank für eure Hilfe, 100000 Dank!!!
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