Partialbruchzerlegung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung für folgende rationale Funktionen.
(-2x+3)/(x³-2x²-3x) |
Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt: x01=0 x02=3 und x03=-1
Dann habe ich die Gleichung als Partialbruch dargestellt: A/x + B/(x-3) + C/(x+1) und auf einen gleichen Nenner gebracht: (A(x+1)+Bx(x-3)+Cx) /(x(x-3)(x+1))
Dann die beiden Zähler gleichgesetzt und nacheinander die Nullstellen eingesetzt. Dadurch habe ich ein lineares Gleichungssystem erhalten:
I -3 , 0 , 0 = 3
II 0 , 12 , 0 = -3
III 0 , 0 , 4 = 5
Dieses hat die Lösung A=-1 B= -1/4 und C= 5/4 ergeben, was meines erachtens aber falsch ist. Kann mir bitte jemand sagen wo der Fehler liegt, damit ich keine Krise bekomme?
lg
|
|
| |
|
Hallo aliaszero,
> Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung für folgende
> rationale Funktionen.
>
> (-2x+3)/(x³-2x²-3x)
> Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt: x01=0 x02=3
> und x03=-1
> Dann habe ich die Gleichung als Partialbruch dargestellt:
> A/x + B/(x-3) + C/(x+1) und auf einen gleichen Nenner
> gebracht: (A(x+1)+Bx(x-3)+Cx) /(x(x-3)(x+1)) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
hier scheint mir beim Erweitern etwas schiefgelaufen zu sein:
Du hast [mm] $\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x+1}=\frac{A\blue{(x-3)(x+1)}+B\blue{x(x+1)}+C\blue{x(x-3)}}{x(x-3)(x+1)}$
[/mm]
Versuch's damit nochmal ...
> Dann die beiden Zähler gleichgesetzt und nacheinander die
> Nullstellen eingesetzt. Dadurch habe ich ein lineares
> Gleichungssystem erhalten:
> I -3 , 0 , 0 = 3
> II 0 , 12 , 0 = -3
> III 0 , 0 , 4 = 5
>
> Dieses hat die Lösung A=-1 B= -1/4 und C= 5/4 ergeben, was
> meines erachtens aber falsch ist. Kann mir bitte jemand
> sagen wo der Fehler liegt, damit ich keine Krise bekomme?
>
> lg
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Das war nur ein Schreibfehler. Ich habe genauso erweitert wie du es vorgeschlagen hast und es kommen dann die angegeben, falschen, Ergebnisse heraus.
lg
|
|
|
| |
|
Hi, aliaszero,
> Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung für folgende
> rationale Funktionen.
>
> (-2x+3)/(x³-2x²-3x)
> Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt: x01=0 x02=3
> und x03=-1
> Dann habe ich die Gleichung als Partialbruch dargestellt:
> A/x + B/(x-3) + C/(x+1) und auf einen gleichen Nenner
> gebracht: (A(x+1)+Bx(x-3)+Cx) /(x(x-3)(x+1))
> Dann die beiden Zähler gleichgesetzt und nacheinander die
> Nullstellen eingesetzt. Dadurch habe ich ein lineares
> Gleichungssystem erhalten:
> I -3 , 0 , 0 = 3
> II 0 , 12 , 0 = -3
> III 0 , 0 , 4 = 5
Also mal "zum Mitdenken": Du hast:
-2x+3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x+1) + Cx(x-3)
Und hier hast Du die 3 Nenner-NS der Reihe nach eingesetzt:
I. 3 = -3A => A = -1.
II. -3 = 12B => B = -1/4
III. 5 = 4C => C = 5/4
Warum sollte das falsch sein?!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Ich habe die Funktion als folgenden Partialbruch angegeben:
-1/x - (1/4)(x-3)+(5/4)(x+1) und diesen dann im Programm GeoGebra abbilden lassen und da ist eine andere Abbildung entstanden als für die Original-Funktion und das sollte doch eigentlich gleich sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Sa 29.11.2008 | | Autor: | aliaszero |
Nein! Ich Idiot hab nur ein Bruchstrich vergessen und damit Stunden verschwendet! Argh!
|
|
|
| |
|
ja ja die Brüche...
hast Du die Lösung nun raus ?
müsste doch eigentlich
[mm] -\bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4*(x-3)}+\bruch{5}{4*(x+1)} [/mm] heißen, oder ?
mfg Schorsch
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ich komme mit dem obigen Ansatz auf die Werte $A=-1, [mm] B=-\frac{1}{4}, C=\frac{5}{4}$
[/mm]
Das passt lt. Funkyplot auch von den Funktionsgraphen ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Wozu braucht man eigentlich die Partialbruchzerlegung ?
mfg Schorsch
|
|
|
| |
|
Hallo Georg,
versuche doch mal, die Ausgangsfunktion direkt zu integrieren und dann die Funktion in Darstellung als Summe der Partiabrüche ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Partialbruchzerlegung für [mm] \bruch{-8x-40}{x³+5x²+x+5} [/mm] |
Hi,
mit dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht zurecht. Es gibt nur eine Nennernullstelle bei x01=-5 daraus kann ich zwar [mm] \bruch{A}{x+5} [/mm] bilden aber was dann?
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Partialbruchzerlegung für [mm]\bruch{-8x-40}{x³+5x²+x+5}[/mm]
> Hi,
> mit dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht zurecht. Es
> gibt nur eine Nennernullstelle bei x01=-5 daraus kann ich
> zwar [mm]\bruch{A}{x+5}[/mm] bilden aber was dann?
Hier hast du den Fall einer komplexen NST oder besser zweier komplexer NST(en), dazu wähle den Ansatz
[mm] $\bruch{-8x-40}{x^3+5x^2+x+5}=\bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)}=\frac{A}{x+5}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
[/mm]
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
meinst Du mit komplexen NST die x-Werte für [mm] \wurzel{x^2}=-1 [/mm] ?
und wie kommst Du auf den 2.Bruch [mm] \bruch{Bx +C}{x^2+1} [/mm] ?
bitte um Hilfe...
Schorsch
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> meinst Du mit komplexen NST die x-Werte für [mm]\wurzel{x^2}=-1[/mm]
> ?
eher die für [mm] $x^2=-1$, [/mm] also [mm] $x=\pm [/mm] i$
Der zweite Faktor im Nenner [mm] $x^2+1$ [/mm] ist über [mm] $\IR$ [/mm] nicht in Linearfaktoren zerlegbar, daher wählt man den reellen Ansatz [mm] $...+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
[/mm]
Wenn du Lust hast und Spaß am Rechnen mit komplexen Zahlen hast, zerlege die Ausgangsfunktion
[mm] $\bruch{-8x-40}{x^3+5x^2+x+5}=\bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x+i}+\frac{C}{x-i}$
[/mm]
Dabei sind aber $A, B, C$ komplex
Da das oft nicht so lustig ist, kannst du den anderen Ansatz wählen
>
> und wie kommst Du auf den 2.Bruch [mm]\bruch{Bx +C}{x^2+1}[/mm] ?
s.o. und Skript oder ![[]](/images/popup.gif) wikipedia für die verschiedenen Ansätze!!
>
> bitte um Hilfe...
>
> Schorsch
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Du warst zu schnell für mich, wollte gerade das Wurzelzeichen streichen...
Danke für den Hinweis. Bin gespannt, wie die Partialbruchzerlegung nun weiter ausgerechnet wird... Vielleicht fängt man mit der bekannten NST an...
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Du sagtest, dass gilt:
[mm] \bruch{-8x-40}{x^3+5x^2+x+5}=\bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)}=\frac{A}{x+5}+\frac{Bx}{x+i}+\frac{C}{x-i} [/mm] |
Kann man die Funktion nicht durch (x+5) kürzen ?
[mm] \bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)}=\bruch{-8*(x+5)}{(x+5)(x^2+1)}=-\bruch{8}{x^2+1} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo Georg,
> Du sagtest, dass gilt:
>
> [mm]\bruch{-8x-40}{x^3+5x^2+x+5}=\bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x+i}+\frac{C}{x-i}[/mm]
> Kann man die Funktion nicht durch (x+5) kürzen ?
>
> [mm]\bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)}=\bruch{-8*(x+5)}{(x+5)(x^2+1)}=-\bruch{8}{x^2+1}[/mm]
> ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
natürlich kannst du, das ist der ökonomische Weg 
Gut mitgedacht und nicht dumm drauf losgerechnet wie ich.
Die PBZ liefert aber natürlich dasselbe Ergebnis
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
tja, habe mir das mal in Wikipedia angeschaut und auf die Aufgabe bezogen.
Aus [mm] f(x)=\bruch{-8x-40}{(x+5)(x^2+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+5}+\bruch{Bx+C}{x^2+1} [/mm] und der Multiplikation mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner und Gleichsetzen der Zähler erhielt ich für C=-8, A=0 B=0 und somit den Partialbruch:
[mm] f(x)=\bruch{0}{x+5}+\bruch{0x+C}{x^2+1}=-\bruch{8}{x^2+1}
[/mm]
Ein sofortiges Kürzen wäre natürlich "ökonomischer" gewesen...
Dennoch danke für einen Einblick in diese mir bisher unbekannte Aufgaben.
mfg Schorsch
|
|
|
| |
|
Hi,
also in der Aufgabenstellung stand auch als Hinweis: "Im Falle von komplexen NST des Nenners führen Sie die PBZ sowohl reell als auch komplex durch"
Das hätte mir natürlich einen Denkanstoß geben können Aber ich verstehe trotzdem nicht wie Du darauf gekommen bist, dass es etwas mit komplexen Zahlen zu tun hat. Woran erkennt man das genau. Auch das mit den zwei komplexen NST... wo ist das zu sehen?
LG
|
|
|
| |
|
> Hi,
> also in der Aufgabenstellung stand auch als Hinweis: "Im
> Falle von komplexen NST des Nenners führen Sie die PBZ
> sowohl reell als auch komplex durch"
> Das hätte mir natürlich einen Denkanstoß geben können
> Aber ich verstehe trotzdem nicht wie Du darauf gekommen
> bist, dass es etwas mit komplexen Zahlen zu tun hat. Woran
> erkennt man das genau. Auch das mit den zwei komplexen
> NST... wo ist das zu sehen?
Hallo,
"man" weiß, daß Polynome mit reellen Koeffizienten, die man über [mm] \IC [/mm] betrachtet, genausoviele Nullstellen haben wie ihr Grad ist, und daß eventuelle komplexe Nullstellen hier immer in konjugiert-komplexen Paaren vorkommen.
Die komplexen Nullstellen von [mm] x^2+1 [/mm] kann man doch schlicht und ergreifende ausrechnen, wenn man sie nicht weiß.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
