Partialbruchzerlegung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
ich habe eine Frage zur Partialbruchzerlegung..:
Die Aufgabe lautet:
[mm] \bruch{8-5x}{x^2-3x+2} \Rightarrow \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-2)}
[/mm]
Nun führe ich die Zuhaltemethode durch:
8-5x=A(x-2)+B(x-1)
x=1 in diese Gleichung [mm] \Rightarrow [/mm] 3=-A [mm] \Rightarrow [/mm] A=-3
x=2 in diese Gleichung [mm] \Rightarrow [/mm] -2=B
[mm] \Rightarrow \bruch{8-5x}{x^2-3x+2}=\bruch{-3}{(x-1)}+\bruch{(-2)}{(x-2)}
[/mm]
Wäre das Verfahren soweit richtig???
MFG mempys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 04.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Super. Ich habe nun allerdings noch ein Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] \bruch{2x^2-4x+4}{x^3-4x^2+4x} \Rightarrow \bruch{A}{x}+\bruch{B}{(x-2)}+\bruch{C}{(x-2)^2}
[/mm]
Nun führe ich die Zuhaltemethode durch:
[mm] 2x^2-4x+4=A(x-2)^2+Bx(x-2)+Cx
[/mm]
0 in diese Gleichung [mm] \Rightarrow [/mm] 4=4A [mm] \Rightarrow [/mm] A=1
2 in diese Gleichung [mm] \Rightarrow [/mm] 4=2C [mm] \Rightarrow [/mm] C=2
Ich möchte nun B mit dem Koeffizientenvergleich bestimmen. Kriege das aber nict mehr so richtig hin bzw. bin ich mir nicht sicher, ob das Ergebnis richtig ist.
Ich vergleiche:
[mm] 2x^2-4x+4=x^2-4x+2+Bx^2-2Bx+2x \Rightarrow x^2+2x+2=Bx^2-2Bx
[/mm]
wenn ich jetzt [mm] x^2=Bx^2 [/mm] vergleiche, komme ich ja auf B=1
wenn ich aber 2x=-2Bx vergleiche, komme ich auf B=-1
Wo ist jetzt der Fehler???
MFG mempys
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Hallo,
> Super. Ich habe nun allerdings noch ein Problem mit
> folgender Aufgabe:
>
> [mm]\bruch{2x^2-4x+4}{x^3-4x^2+4x} \Rightarrow \bruch{A}{x}+\bruch{B}{(x-2)}+\bruch{C}{(x-2)^2}[/mm]
>
> Nun führe ich die Zuhaltemethode durch:
>
> [mm]2x^2-4x+4=A(x-2)^2+Bx(x-2)+Cx[/mm]
>
> 0 in diese Gleichung [mm]\Rightarrow[/mm] 4=4A [mm]\Rightarrow[/mm] A=1
> 2 in diese Gleichung [mm]\Rightarrow[/mm] 4=2C [mm]\Rightarrow[/mm] C=2
>
> Ich möchte nun B mit dem Koeffizientenvergleich bestimmen.
> Kriege das aber nict mehr so richtig hin bzw. bin ich mir
> nicht sicher, ob das Ergebnis richtig ist.
>
> Ich vergleiche:
>
> [mm]2x^2-4x+4=x^2-4x+2+Bx^2-2Bx+2x \Rightarrow x^2+2x+2=Bx^2-2Bx[/mm]
>
> wenn ich jetzt [mm]x^2=Bx^2[/mm] vergleiche, komme ich ja auf B=1
>
> wenn ich aber 2x=-2Bx vergleiche, komme ich auf B=-1
>
> Wo ist jetzt der Fehler???
Du vergleichst, nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der rechten Seite:
[mm]2x^2-4x+4=A(x-2)^2+Bx(x-2)+Cx[/mm]
[mm] $2x^2-4x+4=(A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A$
[/mm]
4A = 4
A+B = 2
-4A-2B+C = -4
LG, Martinius
> MFG mempys
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Super also doch B=1.
Ich habe nun leider noch eine frage.
Ich habe nun [mm] \bruch{-5x^2+17x-27}{x^3-5x^2+12x-8} [/mm] ich weiß, dass ich hier die Partialbruchzerlegung im komplexen durchführen muss. Allerdings fehlt mir der Ansatz, [mm] x^3-5x^2+12x-8 [/mm] für meine Partialbruchzerlegung aufzulösen, um somit die nullstellen zu finden. Könntet ihr mir dabei vielleicht nochmal helfen??? Ich danke schonmal Im Voraus. MFG mempys
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> Super also doch B=1.
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> Ich habe nun leider noch eine frage.
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> Ich habe nun [mm]\bruch{-5x^2+17x-27}{x^3-5x^2+12x-8}[/mm] ich weiß,
> dass ich hier die Partialbruchzerlegung im komplexen
> durchführen muss. Allerdings fehlt mir der Ansatz,
> [mm]x^3-5x^2+12x-8[/mm] für meine Partialbruchzerlegung aufzulösen,
> um somit die nullstellen zu finden. Könntet ihr mir dabei
> vielleicht nochmal helfen??? Ich danke schonmal Im Voraus.
> MFG mempys
Das Nennerpolynom [mm] x^3-5x^2+12x-8 [/mm] hat die leicht
entdeckbare Nullstelle [mm] x_1 [/mm] = 1. Dann lässt sich das
Polynom durch Polynomdivision zunächst einmal zerlegen
in:
[mm] (x-1)*(x^2-4x+8)
[/mm]
hoffe, dass dies weiterhilft
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hmm...
...könntest du mir noch ein schritt weiter helfen,komm bei dem [mm] (x^2-4x+8) [/mm] nicht weiter..
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Hallo!
Benutze die quadratische Lösungsformel, um den Term zu faktorisieren:
[mm]0 = x^{2}-4x+8[/mm]
[mm]x_{1/2} = -\bruch{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\bruch{-4}{2}}\right)^{2} - 8[/mm]
[mm]= 2 \pm \sqrt{4 - 8}[/mm]
[mm]= 2 \pm \sqrt{-4}[/mm]
[mm]= 2 \pm \sqrt{4}*\sqrt{-1}[/mm]
[mm]= 2 \pm 2*i[/mm]
Also kannst du entsprechend faktorisieren:
[mm]x^{2}-4x+8 = \left(x - (2 + 2*i)\right)\left(x - (2 - 2*i)\right)[/mm]
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Ok,dannn erhalte ich:
[mm] \bruch{-5x^2+17x-27}{(x-1)(x-(2+2i))(x-(2-2i))} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-(2+2i))}+\bruch{C}{(x-(2-2i))}
[/mm]
aber wie rechne ich weiter??Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch momentan...
MFG
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> Ok,dannn erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{-5x^2+17x-27}{(x-1)(x-(2+2i))(x-(2-2i))}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-(2+2i))}+\bruch{C}{(x-(2-2i))}[/mm]
>
> aber wie rechne ich weiter??Ich stehe irgendwie auf dem
> Schlauch momentan...
>
> MFG
Falls wirklich diese komplexe Partialbruchzerlegung
verlangt ist,
( -----> siehe die Mitteilung von Herby ! )
kommt jetzt etwas Fleissarbeit:
Die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren,
um zu einer Gleichung der folgenden Form zu kommen:
[mm]\ -5x^2+17x-27 = A * (x^2-4x+8) + B*(......)*(.......) + C*(......)*(........)[/mm]
Dann rechts vereinfachen und durch Koeffizientenvergleich A, B und C bestimmen.
Und nachher natürlich die Integration.
Gruß al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
warum nimmst du nicht:
[mm] \bruch{-5x^2+17x-27}{(x-1)(x^2-4x+8)}=\bruch{A}{(x-1)}+\bruch{Bx+C}{(x^2-4x+8)}
[/mm]
Lg
Herby
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