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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Sa 05.04.2008
Autor: blueeyes

Aufgabe
Berechnen Sie folgendes unbestimmte Integral:

[mm] \integral\bruch{(x^4-3x^2+5x+4)}{(x^3-3x+2)}dx [/mm]

Mittels Polynomdivision kam ich auf folgendes:

x+ [mm] \bruch{3x+4}{x^3-3x+2} [/mm]

ich denke nun dass es das beste wäre nun eine Partialbruchzerlegung durchzuführen,nur wie sehe diese dann aus? Lg

        
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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Sa 05.04.2008
Autor: leduart

Hallo
Da der Nenner bei x=1 ne Nullstelle hat, erst mal (x-1) ausklammern. (Polynomdivision)
Gruss leduart

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Sa 05.04.2008
Autor: blueeyes

[mm] (x^3-3x+2):(x-1)= x^2+x-2 [/mm]

Ich versuch mich an dieser Zerlegung:

[mm] \bruch{(3x+4)}{(x^3-3x+2)}= \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x^2+x-2)} [/mm]

passt das ungefähr? Diese Partialbruchzerlegung hatte ich nämlich nicht so ganz verstanden. Und wenn das so einigermaßen passt, wie geht man dann weiter? Lg

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Sa 05.04.2008
Autor: MathePower

Hallo blueeyes,

> [mm](x^3-3x+2):(x-1)= x^2+x-2[/mm]
>  
> Ich versuch mich an dieser Zerlegung:
>  
> [mm]\bruch{(3x+4)}{(x^3-3x+2)}= \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x^2+x-2)}[/mm]

[mm]x^{2}+x-2[/mm] hat auch reelle Nullstellen, so daß Du das weiter aufsplitten kannst.

Mehr Informationen findest Du hier.

>  
> passt das ungefähr? Diese Partialbruchzerlegung hatte ich
> nämlich nicht so ganz verstanden. Und wenn das so
> einigermaßen passt, wie geht man dann weiter? Lg  

Gruß
MathePower

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Sa 05.04.2008
Autor: blueeyes

ich habe also nochmals aufgesplittet:

[mm] \bruch{3x+4}{x^3-3x+2}= \bruch{A}{(x-1)}+ \bruch{B}{(x-1)}+\bruch{C}{(x+2)} [/mm]

3x+4=A(x+2)+B(x-1)+C(x-1)=(A+B+C)x+(2A-B-C)

kann das einigermaßen hinkommen?

meine frage ist dann noch,wie man in dem beispiel aus dem link mittels einsetzverfahren auf [mm] A_{2}=\bruch{13}{6} [/mm] und [mm] A_{1}=\bruch{11}{6} [/mm] kommt. Lg

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Sa 05.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo blueeyes,

> ich habe also nochmals aufgesplittet:
>  
> [mm]\bruch{3x+4}{x^3-3x+2}= \bruch{A}{(x-1)}+ \bruch{B}{(x-1)}+\bruch{C}{(x+2)}[/mm] [notok]

Der Ansatz für ne doppelte NST ist ein anderer - das steht aber auch unter dem obigen link oder alternativ auf wikipedia

http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung


Du hast eine einfache und eine doppelte reelle NST, daher der Ansatz:

[mm] $\frac{3x+4}{x^3-3x+2}=\frac{3x+4}{(x+2)(x-1)^2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$ [/mm]



>  
> 3x+4=A(x+2)+B(x-1)+C(x-1)=(A+B+C)x+(2A-B-C)
>  
> kann das einigermaßen hinkommen?
>  
> meine frage ist dann noch,wie man in dem beispiel aus dem
> link mittels einsetzverfahren auf [mm]A_{2}=\bruch{13}{6}[/mm] und
> [mm]A_{1}=\bruch{11}{6}[/mm] kommt. Lg


Löse bsp.weise die 1. Gleichung nach [mm] $A_1$ [/mm] auf und setze das in die 2.Gleichung ein. Damit kannst du [mm] $A_2$ [/mm] berechnen, das du dann in eine der beiden Gleichungen einsetzt und so [mm] $A_1$ [/mm] berechnset.

Also

(1) [mm] $4=A_2+A_1\Rightarrow \blue{A_1=4-A_2}$ [/mm]

(2) [mm] $-2=5A_2-7A_1\Rightarrow -2=5A_2-7(\blue{4-A_2})$ [/mm]

usw.




LG

schachuzipus



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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Sa 05.04.2008
Autor: blueeyes

mh,gut...ich versuchs weiter:

3x+4= [mm] A(x-1)^2+B(x+2)+C(x-1) [/mm]

[mm] Ax^2-2Ax+A+Bx+2B+Cx-C=(Ax+B+C)x+(-2Ax+A+2B-C) [/mm]

dann: Ax+B+C=3 und -2Ax+A+2B-C=4

Sagt mir bitte wie es richtig heißt,wenns falsch ist,lg.

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Sa 05.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo,

das passt noch nicht, der Hauptnenner ist doch [mm] $(x+2)(x-1)^2$ [/mm]

Du musst also die Brüche entsprechend erweitern:

[mm] $\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}=\frac{A\blue{(x-1)^2}}{(x+2)\blue{(x-1)^2}}+\frac{B\blue{(x+2)(x-1)}}{(x-1)\blue{(x+2)(x-1)}}+\frac{C\blue{(x+2)}}{(x-1)^2\blue{(x+2)}}$ [/mm]

[mm] $=\frac{A(x-1)^2+B(x-1)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2}$ [/mm]

Nun im Zähler alles schön ausmultiplizieren und nach den Potenzen von $x$ sortieren.

Anschließend im Zähler den Koeffizientenvgl. mit $3x+4$ machen,

es soll ja gelten: [mm] $\frac{A(x-1)^2+B(x-1)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2}=\frac{3x+4}{(x+2)(x-1)^2}$ [/mm]


LG

schachuzipus

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Sa 05.04.2008
Autor: blueeyes

=(Ax+Bx-2A+B+C)x+(-A-2B+2)

Ax+Bx-2A+B+C=3
-A-2B+2=4

so?

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Sa 05.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> =(Ax+Bx-2A+B+C)x+(-A-2B+2)
>  
> Ax+Bx-2A+B+C=3
>  -A-2B+2=4
>
> so?

was hast du denn da gemacht?

Multipliziere doch den Zähler mal aus und sortiere nach den Potenzen von $x$:

[mm] $A(x-1)^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)=Ax^2-2Ax+A+Bx^2+Bx-2B+Cx+2C=\green{(A+B)}x^2+\red{(-2A+B+C)}x+\blue{(A-2B+2C)}$ [/mm]

So, und das soll [mm] $=\green{0}\cdot{}x^2+\red{3}\cdot{}x+\blue{4}$ [/mm] sein.

Nun mal nen Koeffizientenvgl. machen, das gibt dir 3 Gleichungen in den 3 Unbekannten $A, B, C$, sollte also lösbar sein ;-)


Lieben Gruß

schachuzipus





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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Sa 05.04.2008
Autor: blueeyes

[mm] A=-\bruch{2}{9} [/mm]  ;  [mm] B=\bruch{2}{9} [/mm]  ;  [mm] C=2\bruch{1}{3} [/mm]

I= [mm] -\bruch{2}{9}\integral\bruch{1}{x+2}dx +\bruch{2}{9}\integral\bruch{1}{x-1}dx +2\bruch{1}{3}\integral\bruch{1}{(x-1)^2}dx [/mm]

I= [mm] -\bruch{2}{9}ln|x+2|+ \bruch{2}{9}ln|x-1|+ 2\bruch{1}{3}ln|(x-1)^2|+ [/mm] C

aber irgendwas wird wieder nicht hinhauen,weil ja dieses hier am ende rauskommen muss:

[mm] \bruch{1}{18}(9x^2+4log(x-1)-4log(x+2)-\bruch{42}{x-1}-36) [/mm]

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Sa 05.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> [mm]A=-\bruch{2}{9}[/mm]  ;  [mm]B=\bruch{2}{9}[/mm]  ;  [mm]C=2\bruch{1}{3}[/mm] [daumenhoch]
>  
> I= [mm]-\bruch{2}{9}\integral\bruch{1}{x+2}dx +\bruch{2}{9}\integral\bruch{1}{x-1}dx +2\bruch{1}{3}\integral\bruch{1}{(x-1)^2}dx[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[ok]

>  
> I= -\bruch{2}{9}ln|x+2| [ok]+ \bruch{2}{9}ln|x-1| [ok] + 2\bruch{1}{3}ln|(x-1)^2|+ C [notok]

Beim letzten Integral hast du dich verschustert.

Schreibe das als $\frac{7}{3}\int(x-1)^{-2} \ dx}$

Also ne Stammfkt: $\frac{7}{3}\cdot{}(-1)\cdot{}(x-1)^{-1}=-\frac{7}{3(x-1)}$

Regel: $\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ für alle $n\neq -1$


>  
> aber irgendwas wird wieder nicht hinhauen,weil ja dieses
> hier am ende rauskommen muss:
>  
> [mm]\bruch{1}{18}(9x^2+4log(x-1)-4log(x+2)-\bruch{42}{x-1}-36)[/mm]  

Hmm, du musst ja noch das $x$ integrieren, das du ganz zu Anfang mit der Polynomdivision abgespaltet hast.

Ich komme insgeamt auf [mm] $\int{\frac{x^4-3x^2+5x+4}{x^3-3x+2} \ dx}=\int{\left(x+\frac{3x+4}{x^3-3x+2}\right) \ dx}=...=\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{9}\ln(x+2)+\frac{2}{9}\ln(x-1)-\frac{7}{3(x-1)} [/mm] \ + \ C$

Wenn du das nun entsprechend zusammenfasst und die einzelnen Terme mal auf [mm] $\frac{...}{18}$ [/mm] bringst, kommt das hin. Um die -36 am Ende zu bekommen, wurde wohl die Integrationskonstante $C=-2$ gewählt - warum auch immer ;-)


Lieben Gruß

schachuzipus

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