Partialbruchzerlegung ?? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Ursus |
Hallo MathematikerInnen!
Ich hab mal wieder ein Problem und zwar diesmal bei einer Partialbruchzerlegung:
[mm] (2x^5 [/mm] + [mm] 5x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 15x^2 [/mm] - x + 13) : ( [mm] x^6 [/mm] + [mm] x^5 [/mm] + 2 [mm] x^3 [/mm] - 3 [mm] x^2 [/mm] + x - 2)=´
Die Zerlegung hab ich schon:
A:(x-1) + B:(x+2) + (Cx+D):( [mm] x^2 [/mm] +1) + (Ex+F):( [mm] x^2 [/mm] +1)=
Dann komme ich durch ausrechnen bzw einsetzen auf folgende 6 Gleichungen:
I.) -2A + B + 2D + 2F = -13
II.) 20A + 5B + 8C + 4D + 8E + 4F = 231:5
III.) -A + 2B - C + D - E + F = -30:4
IV.) -5A + 2B + 3C + D + 3E + F = 109:10
V.) 20A + 4B + 4C + 8D + 4E + 8F = 432:5
VI.) 20A + 20B - 12C + 24D - 12E + 24F = 736:5
Wenn ich jetzt folgendes Gleichungssystem versuche zu lösen, dann kommt mir für A 1951:440 für B -221:44 heraus.
Danach wollte ich natürlich C,D,E und F ausrechnen, aber dabei kam ich auf kein Ergebnis, weil sich die anderen Variablen herauslöschen.
Frage:
Kann man daraus schließen, dass C=E und D=F, weil bei der Gleichung vor diesen Variablen immer die gleichen Zahlen stehen???
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!
Lg URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 27.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach ursus!
Ich nehme mal an, das deine Zerlegung stimmt - meint ich habe sie nicht nachgeprüft.
Doch stellt sich mir eine Frage: Wie kommst du auf diese Mörderzahlen?
festgehalten:
[mm] \bruch{2x^{5}+5x^{4}+2x^{3}+15x^{2}-x-13}{x^{6}+x^{5}+2x^{3}-3x^{2}+x-2}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}+\bruch{Ex+F}{x^{2}+1}
[/mm]
führt nach Gleichnamigmachen der rechten Seite zu:
[mm] 2x^{5}+5x^{4}+2x^{3}+15x^{2}-x-13=A(x+2)(x^{2}+1]^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(Cx+D)(x-1)(x+2)(x^{2}+1)+(Ex+F)(x-1)(x+2)(x^{2}+1)
[/mm]
durch einsetzen geeigneter x-Werte erhalte ich:
x=1
[mm] 10=A(3*4)\to A=\bruch{10}{12}=\bruch{5}{6}
[/mm]
x=-2
[mm] 59=B(-3)(25)\to B=-\bruch{59}{75}
[/mm]
das einsetzen der komplexen Nullstellen erspar ich mir jetzt.
MfG zwerg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 28.11.2004 | | Autor: | Ursus |
Vielen Dank erstmals für die Hilfe!
Aber ich hab noch eine Frage und zwar muss ich ja damit ich auf C,D,E und F komme für x=i einsetzen (oder?), aber dann löschen sich die Variablen aber wieder heraus. Dann habe ich das ganze ausmultiplixiert und mit einem Gleichungssystem gelöst, aber die Unbekannten sind alle wieder aufgehoben.
Wie kann ich das jetzt lösen??
mfg URSUS
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 29.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach ursus!
Hab mir meine erste Antwort nocheinmal durchgelesen und festgestellt, das ich deine Aufgabe falsch abgeschrieben habe. Und da [mm] -13\not=13
[/mm]
kann meine Lösung nicht so korrect sein.
Also ein neuer Versuch:
Q(x)sei dein Polynom
dann folgender Ansatz:
[mm] (*)Q(x)=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}+\bruch{Ex+F}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
nun das Ganze Gleichnamig machen und die geeingneten x-Werte einsetzen
[mm] \to [/mm] A=3,B=(-1)
für die restlichen Unbekanten:
die klammern ausmultiplizieren fuührt zu
[mm] A(x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+x+2)+B(x^{5}-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+x-1)+C(x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-2x)+D(x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-2)+E(x^{3}+x^{2}-2x)+F(x^{2}+x-2)
[/mm]
nach Potenzen von x zusammenfassen und die Koeffizienten der [mm] x^{k} [/mm] vergleichen.
[mm] \to
[/mm]
A+B+C=2
2A-B+C+D=5
2A+2B-C+D+E=2
4A-2B+C-D+E+F=15
A+B-2C+D-2E+F=-1
2A-B-2D-2F=13
da A,B schon bekannt sollte das nun kein Problem mehr darstellen
das Ergebnis hat der Friedrich ja schon gepostet
MfG zwerg
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Hallo, Ursus,
hier
was CAS sagt
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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