matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenPartialbruchzerlegung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionen" - Partialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Partialbruchzerlegung: ist meine annahme korrekt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 29.10.2006
Autor: Witch1986

Aufgabe
Zerlegen sie: [mm] f(x) = \bruch{2x} {(x-1)(x+2)^3} [/mm] in Partialbrüche.

Ich habe als Annahme aufgestellt:

[mm] \bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3} = \bruch{A}{(x-1)} + \bruch{B}{(x+2)} +\bruch{C}{(x+2)} +\bruch{D}{(x+2)} [/mm]

ist diese Annahme korrekt oder müsste sie anders aussehen?

MfG Witch

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 So 29.10.2006
Autor: DesterX

Hallo

Leider nicht ganz richtig, sie muss lauten:

[mm] \bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+2)} +\bruch{C}{(x+2^)^2} +\bruch{D}{(x+2)^3} [/mm]

Gruß
Dester

Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Dann wäre der nächste Schritt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 So 29.10.2006
Autor: Witch1986

Also wäre dann der nächste Schritt (wenn ich das richtig verstanden habe):

[mm]\bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3} = A\*(x+2)\*(x+2)^2\*(x+2)^3 + B\*(x-1)\*(x+2)^2\*(x+2)^3 + C\*(x-1)\*(x+2)\*(x+2)^3 + D\*(x-1)\*(x+2)\*(x+2)^2 [/mm]

Ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:09 So 29.10.2006
Autor: DesterX

Hi!

Du musst einfach die Gleichung mit [mm] (x-1)*(x+2)^2 [/mm] durchmultiplizieren und erhälst:

2x= [mm] A*(x+2)^3 [/mm] + [mm] B*(x-1)*(x+2)^2+C*(x-1)*(x-2)+D*(x-1) [/mm]

Danach die Terme nach [mm] x^0, x^1, x^2, x^3 [/mm] ordnen und durch Koeffizientenvergleich erhälst du die 4 Bedingungen.

Auf das A und D kommst du allerdings etwas schneller, hast du selber eine Idee wie?

Gruß
Dester

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 29.10.2006
Autor: Witch1986

Also ehrlich gesagt habe ich NOCH keine Idee aber ich werde es mal versuchen ich denke mal irgendwei finde ich die Möglichkeit!

Habe aber mal eine Frage: warum muss ich das mit [mm] (x-1)(x+2)^2[/mm] auflösen wenn ich doch auf der linken seite auf [mm]2x[/mm] kommen möchte dann muss ich doch mit [mm](x-1)(x+2)^3[/mm] auflösen oder etwa nicht?


Bis hierher erstmal danke wenn ich auf garkein Ergebniss komme was mir gefällt denke ich das ich mich wieder melde!


Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 29.10.2006
Autor: DesterX

Oh, entschuldige -
die Gleichung die dort steht wurde natürlich mit [mm] (x-1)*(x+2)^3 [/mm] multipliziert - sonst wär's ja Unsinn!

Gut, dann melde dich, solltest du nicht weiterkommen...

Grüße
Dester

Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 So 29.10.2006
Autor: Witch1986

Wäre es denn jetz auch möglich bei der entstanden Gleichung einfach die Klammern aufzulösen die Koeffizientenmatrix aufzuschreiben und das LGS zu Lösen???

Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 So 29.10.2006
Autor: DesterX

Ja, das wäre eine Möglichkeit...
Zur Kontrolle: A= [mm] \bruch{2}{27} [/mm] B=- [mm] \bruch{2}{27} [/mm] C= - [mm] \bruch{2}{9} [/mm] D= [mm] \bruch{4}{3} [/mm]
Gruß
DesterX

Bezug
                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: LGS Falsch?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 So 29.10.2006
Autor: Witch1986

Nach dem ich den G. Alg. angewendet habe steht bei mir folgendes da:

[mm]\begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ 1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 6 & 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 12 & 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 8 & -4 & -2 & -1 & |& 0\\ --&--&--&--&|&--\\ 0 & -5 &1 & 0 & | & 0\\ 0 & -10 & 1 & 1 & | & 2\\ 0 & -12 & -2 & -2 & | & 0\\ --&--&--&--&|&--\\ 0&0&-1&1&|&2\\ 0&0&-\bruch{22}{5} & -2&|&0\\ --&--&--&--&|&--\\ 0&0&0&\bruch{12}{5} &|&\bruch{44}{5} \end{vmatrix} [/mm]

Also das habe ich raus aber wie geht es jetz weiter?

also es müsste ja [mm] D= \bruch{44}{12}[/mm]

Aber das haut ja mit den ergebnissen nicht hin!

wo ist mein Fehler


Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 So 29.10.2006
Autor: DesterX

Hallo!
Das LGS ist falsch, dir muss der Fehler beim Klammernauflösen unterlaufen sein  - hab es grad nochmal alles ausgerechnet, richtig sollte es lauten:

A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 \\ 12 & 0 & 1 & 1 \\ 8 & -4 & -2 & -1 } [/mm]

Und nun löse, wie du es auch schon richtig gemacht hast, Ax=b mit [mm] b=\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 0} [/mm] nach x und du erhälst die korrekte Lösung.

Gruß
Dester

Bezug
                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Falsche Vergleichs Lösungen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 So 29.10.2006
Autor: Witch1986

Nochmal ne Frage ich habe mein LGS jetz durch zig verschiedene Applets gejagt und ich bekomme immer wieder das selbe Ergbniss:

[mm] A = 2/27 [/mm]
[mm] B = -2/27 [/mm]
[mm] C = -10/27 [/mm]
[mm] D = 44/27 [/mm]

A und B stimmen mit den oben genannten Ergebnissen zum vergleich überein aber C und D weichen föllig ab woran liegt das?

Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Hab jetz das richtige LGS
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Mo 30.10.2006
Autor: Witch1986

LGS / Gauß. Eliminierungsverfahren

Schritt 1.

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & | & 0 \\ 12 & 0 & 1 &1 & | & 2 \\ 8 & -4 & -2 & -1 & | & 0 \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]


Schritt 2.

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & -12 & 1 &1 & | & 2 \\ 0 & -12 & -2 & -1 & | & 0 \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]


[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\ 0 & -12 & 1 &1 & | & 2 \\ 0 & -12 & -2 & -1 & | & 0 \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -6 & -1 & | & 0 \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -1 & - \bruch{1}{3} & | & - \bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & -6 & -1 & | & 0 \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 0 & 0 & \bruch{1}{9} & | & \bruch{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & - \bruch{1}{9} & | & - \bruch{2}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & | & - \bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & -3 & | & -4 \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 0 & 0 & \bruch{1}{9} & | & \bruch{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & - \bruch{1}{9} & | & - \bruch{2}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & | & - \bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & \bruch{4}{3} \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm] \begin{vmatrix} A & B & C & D & | & Abs \\ - & - & - & - & | & - \\ 1 & 0 & 0 & 0 & | & \bruch{2}{27} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & - \bruch{2}{27} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & - \bruch{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & \bruch{4}{3} \end{vmatrix} [/mm]

[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm]A = \bruch{2}{27}[/mm]
[mm]B = - \bruch{2}{27}[/mm]
[mm]C = - \bruch{2}{9}[/mm]
[mm]D = \bruch{4}{3}[/mm]

[mm] \Rightarrow[/mm]

[mm]\bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3}= \bruch{\bruch{2}{27}}{x-1} + \bruch{- \bruch{2}{27}}{x+2} + \bruch{- \bruch{2}{9}}{(x+2)^2} + \bruch{\bruch{4}{3}}{(x+2)^3}[/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Di 31.10.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Witch,

diese Lösungen sind - wie Du selbst mittlerweile erkannt hast - falsch.
Du hast aber vielleicht auch was Anderes erkannt, nämlich dass diese Methode SEEEHR rechenfehlerträchtig und daher kaum empfehlenswert ist!

DesterX hatte ja schon drauf hingewiesen, dass es einen kürzeren Lösungsweg gibt und zwar folgenden:

Zurück zur Ausgangsgleichung:

2x = [mm] A(x+2)^{3} [/mm] + [mm] B((x-1)(x+2)^{2} [/mm] + C(x-1)(x+2) + D(x-1)  (***)

Diese Gleichung gilt FÜR ALLE x [mm] \in \IR, [/mm]

also z.B. für x=1.

Setze also x=1 in (***) ein und Du kriegst:

2 = [mm] A*3^{3} [/mm]  <=> A = [mm] \bruch{2}{27} [/mm]

Dann setze x=-2 in (***) und Du kriegst:

-4 = D*(-3)   <=> D = [mm] \bruch{4}{3} [/mm]

Damit hast Du schon mal zwei Deiner 4 Konstanten.

Die beiden anderen gehen zwar nicht ganz so schnell, aber sind z.B. mit x=0 und x=-1 auch nicht allzu aufwändig zu ermitteln, denn Du hast ja nurmehr ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten (B, C) zu lösen.
Klar, dass jetzt Rechenfehler kaum noch auftreten!

mfG!
Zwerglein

Bezug
                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:47 Mi 01.11.2006
Autor: Witch1986

Ähm mal ne Frage:

Ich bin jetz auf die Lösungen gekommen wie in meiner eigenen Antwort "Hab jetzt das Richte LGS"

stimmen diese Lösungen? Also stimmen die Lösungen die DexterX gepostet hatte weil diese habe ich jetz ja auch ermittelt bekommen über mein Verfahren auch wenns aufwendig war!!!

Bitte kann mir das jemand beantworten?

Weil A & D Stimmen auf jeden Fall

Bezug
                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 03.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]