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| Aufgabe | a,b [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \partial [/mm] E, E die Einheitskreisscheibe, a [mm] \not= [/mm] b.
Berechne: [mm] \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{(z-a)(z-b)} dz} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe bereits fertig gerechnet, und poste hier nur mal die Lösung, um mich zu vergewissern, dass es auch stimmt. Kann sich bitte jemand meine Lösung anschauen? Danke!
[mm] \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{(z-a)(z-b)} dz}
[/mm]
Zuerst hab ich mit Partialbruchzerlegung das Ding zerlegt:
[mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] = [mm] \bruch{c_{11}}{(z-a)}+ \bruch{c_{12}}{(z-b)}
[/mm]
Also: 1= [mm] c_{11} [/mm] (z-b) + [mm] c_{12} [/mm] (z-a)
Nullstellen sind z= a und z=b, also: [mm] c_{11} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-b} [/mm] und [mm] c_{12}=\bruch{1}{b-a}
[/mm]
Daraus kann ich jetzt schreiben:
[mm] \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{(z-a)(z-b)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{(a-b)(z-a)}dz} [/mm] + [mm] \integral_{\partial E}^{ }{\bruch{1}{(b-a)(z-b)}dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-b} \integral_{\partial E}^{ }{\bruch{1}{(z-a)} dz} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a-b}\integral_{\partial E}^{}{\bruch{1}{(z-b)} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-b}( \integral_{\partial E}^{ }{\bruch{1}{(z-a)} dz}- \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{(z-b)} dz})= \bruch{1}{a-b} [/mm] [log (z-a) - [mm] log(z-b)]^{2\pi}, [/mm] wobei die untere Integrationsgrenze die 0 ist.
Also eingesetzt ergibt:
[mm] \bruch{1}{a-b}[log(2\pi-a)-log(2\pi-b)-log(-a)+log(-b)] [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-b} [/mm] (log( [mm] \bruch{2\pi-a}{2\pi-b})+ [/mm] log( [mm] \bruch{b}{a})))
[/mm]
Stimmt meine Lösung so?
Danke!
milka
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Hallo,
inzwischen habe die Aufgabe nochmal genauer unter die Lupe genommen, und habe festgestellt, dass man beim Integrieren nicht einfach die Grenzen 0 und [mm] 2\pi [/mm] nehmen kann, also der Logarithmus stimmt nicht als Stammfunktion. MAn hat mir als Tipp die Cauchy-Integralformel genannt, die ich im Folgenden nun verwendet habe. Aber ich weiß einfach nicht, was ich beim Verwenden falsch gemacht habe:
die Cauchy-Integralformel lautet doch im allgemeinen Fall:
f(z) = [mm] \bruch{1}{2i\pi} \integral_{ \partial B_{r}(a)}^{}{ \bruch{f(s)}{s-z} ds}
[/mm]
Also habe ich nun gemacht:
[mm] \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-a} dz} [/mm] = [mm] 2i\pi [/mm] f(a) und
[mm] \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-b} dz} [/mm] = [mm] 2i\pi [/mm] f(b), also
ist das Ergebnis von [mm] \bruch{1}{a-b}( \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-a} dz}-\integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-b} dz}) [/mm] = [mm] \bruch{2i\pi}{a-b}(f(a)-f(b))
[/mm]
Das kann doch unmöglich die Lösung sein, oder? 
Danke für eine Hilfe!!
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Di 23.05.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Milka_Kuh!
> inzwischen habe die Aufgabe nochmal genauer unter die Lupe genommen, und habe festgestellt, dass man beim Integrieren nicht einfach die Grenzen 0 und [mm]2\pi[/mm] nehmen kann, also der Logarithmus stimmt nicht als Stammfunktion.
Also, der (verschobene) natürliche Logarithmus [mm] $\ln [/mm] (z-a)$ ist durchaus eine Stammfunktion von [mm]\frac1{z-a}[/mm]. Jedoch läuft Deine Integration nicht von z=0 nach [mm] $z=2\pi$, [/mm] wie Du in Deinem ersten Beitrag schriebst, sondern von z=1 einmal im Kreis und zurück nach z=1. Daß dabei gleichwohl nicht einfach [mm][\ln(z-a)]_1^1=0[/mm] rauskommt, liegt daran, daß der komplexe Logarithmus nur mit Vorsicht zu genießen ist...
Aber nun zu Deinem zweiten Lösungsansatz.
> MAn hat mir als Tipp die Cauchy-Integralformel genannt, die ich im Folgenden nun verwendet habe. Aber ich weiß einfach nicht, was ich beim Verwenden falsch gemacht habe:
>
> die Cauchy-Integralformel lautet doch im allgemeinen Fall:
>
> f(z) = [mm]\bruch{1}{2i\pi} \integral_{ \partial B_{r}(a)}^{}{ \bruch{f(s)}{s-z} ds}[/mm]
Richtig - aber nur solange [mm] $z\in B_r(a)$ [/mm] gilt!!!
Für |z-a|=r verläuft der Integrationsweg durch eine Singularität, das Integral ist also (zunächst einmal) nicht definiert.
Für |z-a|>r ist der Integrad auf einer Umgebung der Kreisscheibe [mm]B_r(a)[/mm] komplex differenzierbar (da singularitätenfrei) und der Integrationsweg innerhalb dieser Kreisscheibe zu einem Punkt zusammenziehbar. Daher gilt in diesem Fall [mm] $\integral_{ \partial B_r(a)}{\frac{f(s)}{s-z} ds}=0$.
[/mm]
> Also habe ich nun gemacht:
> [mm]\integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-a} dz} = 2i\pi f(a)[/mm] und [mm]\integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-b} dz} = 2i\pi f(b)[/mm],
Hast Du Dir auch überlegt, was bei dieser Anwendung der Integralformel die Funktion f(z) sein muß? - Es ist hier natürlich f(z):=1, das mußt Du rechts noch einsetzen. 
Ansonsten sind diese Identitäten nach dem oben Gesagten richtig, solange |a|<1 bzw. |b|<1 gilt.
> also ist das Ergebnis von [mm]\bruch{1}{a-b}( \integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-a} dz}-\integral_{\partial E}^{}{ \bruch{1}{z-b} dz}) =\bruch{2i\pi}{a-b}(f(a)-f(b))[/mm]
>
> Das kann doch unmöglich die Lösung sein, oder?
An dieser Stelle hätte Dir auffallen können, daß plötzlich und unerwartet eine Funktion f(z) auf der rechten Seite auftaucht...
Mit meinen obigen Hinweisen erhältst Du aus deinem Ergebnis aber leicht das Endergebnis:
- Für |a|<1 und |b|<1 ist das gesuchte Integral gleich [mm] $\frac{2i\pi}{a-b}(1-1)=0$.
[/mm]
- Für |a|>1 und |b|>1 ist das Integral ebenfalls gleich Null, da dann beide Einzelintegrale verschwinden.
- Ist |a|<1, aber |b|>1, verschwindet nur das zweite Einzelintegral und wir erhalten [mm] $\frac{2i\pi}{a-b}$.
[/mm]
- Ist umgekehrt |a|>1 und |b|<1, so erhalten wir analog [mm] $-\frac{2i\pi}{a-b}$.
[/mm]
- In den Fällen, in denen |a|=1 oder |b|=1 gilt, haben wir ein ernstes Problem mit dem Integrationsweg und fragen unseren Arzt oder Apotheker.
Grüße,
Galois
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