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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 11.01.2006 | | Autor: | elko |
Hi 2 all
Würde gerne das integral [mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{1}{x^2(x^2+9)} [/mm] dx}
mit der Partialbruch zerlegung Lösen !
Dazu brauche ich ja die koeffitenten AB ...
Weis jetzt nur nicht wie ich die nullstellen zuordnen soll und warum!
Hat [mm] x^2(x^2+9) [/mm] = [mm] x^4+9x^2 [/mm] jetzt ne dreifache nullstelle oder ne zweifache?
oder ne vierfache, woher wisst ihr das? x1=x2=x3=0
weil ist ja ein polynom 4 ten grades
Danke im voraaus Daniel
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Hallo elko!
Der Nenner Deiner Funktion hat in [mm] $\IR$ [/mm] eine doppelte Nullstelle bei [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ 0$ .
Deine erforderliche Partialbruchzerlegung muss demnach lauten:
[mm] $\bruch{1}{x^2*\left(x^2+9\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C*x+D}{x^2+9}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 11.01.2006 | | Autor: | elko |
Irgendwie versthe ich die ganze Partialbruch zerlegung nicht sobald es mit einer doppelten oder dreifachen nullstelle anfängt!
Die Partialbruchzerlegung mit einfachen Nullstellen verstehe ich weil da kann ich die Nullstellen ja auf die Koeffitienten verteilen!
z.B
x1=3 x2=4 x3=-5
[mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-4} +\bruch{C}{x+5}
[/mm]
Aber ist verstehe nicht warum bei der doppelten Nullstele
[mm] \bruch{Cx+D}{x^2+9} [/mm] diese Cx+D Koeffitienten gebildet werden meussen?
Ist das nen Gesetz oder kann mann das irgendwie erklären?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mi 11.01.2006 | | Autor: | elko |
Ich glaube da muss mann wohl einen Koeffitienten vergleich machen?
Die aufgestellete Gleichung lautet:
[mm] Ax(x^2+9)+B(x^2+9)+x^3(C)+x^2(D)=1
[/mm]
[mm] Ax^3+9Ax+Bx^2+9B+Cx^3+Dx^2=1
[/mm]
[mm] (A+C)*x^3+(B+D)*x^2+9Ax+9B=1
[/mm]
Kann jemand damit die Gleichungen für den Koeffitienten Vergleich aufstellen?
Ich verstehe den Koeffitientenvergleich einfahc nicht!!
Daniel
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Hi, Daniel,
denke mal, dass Dein Ansatz stimmt!
> Ich glaube da muss mann wohl einen Koeffizientenvergleich
> machen?
>
> Die aufgestellte Gleichung lautet:
>
> [mm]Ax(x^2+9)+B(x^2+9)+x^3(C)+x^2(D)=1[/mm]
>
> [mm]Ax^3+9Ax+Bx^2+9B+Cx^3+Dx^2=1[/mm]
>
> [mm](A+C)*x^3+(B+D)*x^2+9Ax+9B=1[/mm]
>
> Kann jemand damit die Gleichungen für den Koeffizientenvergleich aufstellen?
"Koeffizienten" sind die Konstanten vor den Potenzen von x und die Konstante ohne x.
Bei [mm] x^{3} [/mm] steht links: A+C; rechts gibt's kein [mm] x^{3}; [/mm] daher: Konstante 0.
(I) A+C = 0
Analog für [mm] x^{2}:
[/mm]
(II) B+D = 0
Dann für x:
(III) 9A = 0
Und schließlich die Konstante ohne x (Achtung: Da steht rechts die 1!)
(IV) 9B = 1
So! Nun kannst Du A, B, C und D ausrechnen!
Zur Kontrolle: Dein Endergebnis lautet:
f(x) = [mm] \bruch{1}{9x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9(x^{2}+9)} [/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hi, Daniel,
> Irgendwie versthe ich die ganze Partialbruchzerlegung
> nicht sobald es mit einer doppelten oder dreifachen
> nullstelle anfängt!
>
> Die Partialbruchzerlegung mit einfachen Nullstellen
> verstehe ich weil da kann ich die Nullstellen ja auf die
> Koeffitienten verteilen!
>
> z.B
>
> x1=3 x2=4 x3=-5
>
> [mm]\bruch{A}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-4} +\bruch{C}{x+5}[/mm]
>
> Aber ist verstehe nicht warum bei der doppelten Nullstele
>
> [mm]\bruch{Cx+D}{x^2+9}[/mm] diese Cx+D Koeffizienten gebildet
> werden müssen?
>
> Ist das nen Gesetz oder kann mann das irgendwie erklären?
>
Bei einer Partialbruchzerlegung müssen "echte" Brüche herauskommen, d.h. der Zählergrad ist auf jeden Fall KLEINER als der Nennergrad.
Wenn Du nun z.B. einen nicht zerlegbaren quadratischen Term (bei Die: [mm] x^{2}+9) [/mm] im Nenner hast, kann der Zähler nur linear sein, z.B. ax+b.
Bei einem Term mit doppelter Nullstelle (bei Dir: [mm] x^{2}) [/mm] wäre dieser Ansatz auch möglich, ist aber für die weitere Rechnung (es soll ja anschließend integriert werden!) schlecht brauchbar.
Daher macht man in diesem Fall zwei Brüche draus.
Statt [mm] \bruch{ax+b}{x^{2}} [/mm]
schreibt man also lieber:
[mm] \bruch{a}{x}+\bruch{b}{x^{2}}
[/mm]
(Ach ja: Und bei einer dreifachen Nullstelle macht man 3 Brüche, bei einer vierfachen 4, usw.)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 12.01.2006 | | Autor: | elko |
Kann mann sich die Fragen und antworten eigendlich speichern?
Da ich mir die Antworten gerne noch heute abend durchlesen möchte!!
Sonst verfällt der threat ja!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, der Thread löst sich auch nach Ende der Fälligkeit nicht in seine Bestandteile auf, sondern ist nach wie vor lesbar, auch in zehn Jahren noch, falls es den Matheraum dann noch gibt. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage ist bereits beantwortet und wurde irrtümlich zurückversetzt.
Liebe Grüße
Stefan
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