Part.Abb. f:R*^2 -> R < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 19.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi zusammen,
ich bin mal wieder langsam mit meinen Aufgaben, weil wiedermal nicht ganz klar ist, was wie
gewünscht ist... Tjaja.
Ich hab ne Funktion f
R2 := [mm] \IR^{\*2} [/mm] = [mm] \IR^{2} \backslash [/mm] {(0,0)}
f : R2 [mm] \rightarrow \IR
[/mm]
f(n)=
[mm] \begin{cases}
0, & \mbox{für } (0,0) \\
\bruch{x^2 y^2}{ x^4 + y^4 } , & \mbox{für } \IR^{\*2}
\end{cases}
[/mm]
Ich kenne die Quotientenregel für "nomale" Abbleitung.
Vielleicht wende ich die einfach im Falle (a,b) [mm] \in [/mm] R2 an.
Wird ein ganz schöner Salat.
Deshalb benenne ich den
Zähler Z := [mm] x^2 y^2 [/mm] und
Zähler N := [mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4
[/mm]
bekomme dann mit Quotientenregel
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(a, b) =
[mm] \bruch{
\bruch{\partial}{\partial y} N(a, b) * Z - \bruch{\partial}{\partial y} Z(a, b) * N
}{Z^2}
[/mm]
das kann man ausrechnen und bekommt
[mm] \bruch{2 x^2 y (x^4-y^4)}{(x^4+y^4)^2}
[/mm]
raus.
So weit so gut.
In der Aufgabe muss ich jetzt noch
[mm] \bruch {\partial}{\partial x} [/mm] ( [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(a, b) ) (a, b)
bilden.
Mensch ich träume davon, dass man da irgendwas abkürzen könnte.
Z.B. [mm] \partial [/mm] y = [mm] \bruch{\partial}{\partial y}
[/mm]
Ob man dass wohl darf?
Mir erscheint, da sollte es einen Trick geben... aber welchen, denn das ganz normale Ableiten wieder mit Quotienten regel und hier auch noch mit Kettenregel wird doch recht umfangreich ?
Außerdem wie behandle ich die part. Abbleitung nach y in (0,0)
Ich probiers mal:
Frage ist ob die Abb in (0,0) existiert, wenn ja wie Ihr Wert ist.
[mm] \limes_{ (0, y) \rightarrow (0,0) } [/mm] =
[mm] \bruch{ f(0, y) - f(0, 0) }{ (0, y) - (0, 0)} [/mm]
Richtig ?
Problem hierbei ist doch, dass ich hier dem Limes schon einen Wert zuweise, obwohl ich noch gar nicht weiss, ob er existiiert.
Wie kann ich diesen Formfehler umgehen ?
Vielleicht in dem ich erst den Ausdruck ohne Limes so weit wie möglich vereinfache ?
Und weiter:
[mm] \bruch{ f(0, y) - f(0, 0) }{ (0, y) - (0, 0)} [/mm]
=
[mm] \bruch{ f(0, y) - 0 }{ (0, y) - (0, 0)} [/mm]
=
[mm] \bruch{ f(0, y) }{ (0, y) } [/mm]
Hmmmm, was bringt mir dass jetzt ?
Nund wenn, y gegen 0 geht wird es dann 0 oder nie ganz 0 ?
Behandle ich es so alls würde es tatsächlich richtig 0 so könnte ich doch für
f(0, y) richtig 0 schreiben ?
Und wie teile ich denn durch ein Paar?
Muss ich vielleicht unten die euklidische Norm oder sowas verwenden?
Ähmm... gestrandet. Please help.
Danke! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Do 19.05.2005 | | Autor: | Max |
> Ich kenne die Quotientenregel für "nomale" Abbleitung.
> Vielleicht wende ich die einfach im Falle (a,b) [mm]\in[/mm] R2
> an.
> Wird ein ganz schöner Salat.
>
> Deshalb benenne ich den
> Zähler Z := [mm]x^2 y^2[/mm] und
> Zähler N := [mm]x^4[/mm] + [mm]y^4[/mm]
>
> bekomme dann mit Quotientenregel
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}[/mm] f(a, b) =
> [mm]\bruch{
\bruch{\partial}{\partial y} N(a, b) * Z - \bruch{\partial}{\partial y} Z(a, b) * N
}{Z^2}[/mm]
>
>
> das kann man ausrechnen und bekommt
> [mm]\bruch{2 x^2 y (x^4-y^4)}{(x^4+y^4)^2}[/mm]
> raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Für alle [mm] $(x;y)\neq [/mm] (0;0)$ ist das die partielle Ableitung.
> So weit so gut.
> In der Aufgabe muss ich jetzt noch
> [mm]\bruch {\partial}{\partial x}[/mm] ( [mm]\bruch{\partial}{\partial y}[/mm]
> f(a, b) ) (a, b)
> bilden.
>
> Mensch ich träume davon, dass man da irgendwas abkürzen
> könnte.
> Z.B. [mm]\partial[/mm] y = [mm]\bruch{\partial}{\partial y}[/mm]
> Ob man
> dass wohl darf?
Manche schreiben [mm] $\partial_y [/mm] f(x,y)$ für die partielle Ableitung von $f(x,y)$ in $y$-Richtung.
> Mir erscheint, da sollte es einen Trick geben... aber
> welchen, denn das ganz normale Ableiten wieder mit
> Quotienten regel und hier auch noch mit Kettenregel wird
> doch recht umfangreich ?
Naja, so schwierig ist das nicht. Ich kenne da keine andere Möglichkeit.
> Außerdem wie behandle ich die part. Abbleitung nach y in
> (0,0)
>
> Ich probiers mal:
> Frage ist ob die Abb in (0,0) existiert, wenn ja wie Ihr
> Wert ist.
>
> [mm]\limes_{ (0, y) \rightarrow (0,0) }[/mm] =
> [mm]\bruch{ f(0, y) - f(0, 0) }{ (0, y) - (0, 0)}[/mm]
> Richtig ?
Du darfst natürlich im Nenner keinen Punkt bzw. Vektor haben, sondern musst dort durch die Länge des Differenzvektorsteilen.
> Problem hierbei ist doch, dass ich hier dem Limes schon
> einen Wert zuweise, obwohl ich noch gar nicht weiss, ob er
> existiiert.
Das macht man aber eigentlich immer so. Wenn du die Schritte durchgeführt hast weißt du ja auch, ob du es so hättest schreiben dürfen.
> Wie kann ich diesen Formfehler umgehen ?
> Vielleicht in dem ich erst den Ausdruck ohne Limes so weit
> wie möglich vereinfache ?
Das kann man natürlich immer erstmal machen.
> Und weiter:
> [mm]\bruch{ f(0, y) - f(0, 0) }{ (0, y) - (0, 0)}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{ f(0, y) - 0 }{ (0, y) - (0, 0)}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{ f(0, y) }{ (0, y) }[/mm]
> Hmmmm, was bringt mir dass jetzt ?
Wie gesagt darf im Nenner nicht der Vektor stehen, sondern nur die Länge, in diesem Fall kann man einfach schreiben:
[mm] $\frac{\partial}{\partial y}f(0;0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(0;h)-f(0;0)}{||(0;h)-(0;0)||}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=0$.
[/mm]
> Nund wenn, y gegen 0 geht wird es dann 0 oder nie ganz 0 ?
> Behandle ich es so alls würde es tatsächlich richtig 0 so
> könnte ich doch für
> f(0, y) richtig 0 schreiben ?
Auch wenn [mm] $y\neq [/mm] 0$ ist $f(0;y)$ immer Null.
> Und wie teile ich denn durch ein Paar?
>
> Muss ich vielleicht unten die euklidische Norm oder sowas
> verwenden?
Wie gesagt, da gehört die Länge des Vektors hin.
Ich hoffe das hilft. Mach einmal das gleich für die andere partielle Ableitung.
Gruß Max
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