Parametrisierung eines Körpers < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mi 16.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Gegeben ist der Körper
[mm] K={(x,y,z)\in\IR^3 | 0\le x \le 2, z\ge 0, z^2+y^2-2*y \le 8}
[/mm]
a) Was ist K für ein Körper ? Fertigen Sie eine Skizze an.
b) Bestimmen Sie eine Parametrisierung des Körpers K und berechnen Sie dessen Masse [mm] m_{K} [/mm] für die Dichteverteilung [mm] p_{K}(x,y,z) [/mm] = [mm] x+y^2-2*y+2
[/mm]
c) Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes
[mm] \vektor{-\bruch{1}{2}*x^2 \\ y_{z}^2-x_{z}^3-x^2*z^2 \\ z*(y-1)^2-x^3} [/mm] |
Zur a)
Ich weis, dass [mm] z^2+y^2-2*y \le [/mm] 8 eine halbe ( z [mm] \ge [/mm] 0) Kreisfläche in der y-z-Ebene beschreibt, welcher die Tiefe 2 (0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2) hat.
Wie komme ich jedoch auf den Radius und sonstige Werte ? Was bedeutet das (-2*y) in der Ungleichung ? Das der Mittelpunkt [mm] y_{M} [/mm] um 2 verschoben ist ? also [mm] y_{M}=2 [/mm] ?
Zu b)
Hier stehe ich völlig auf dem Schlauch was die Parametrisierung angeht. Wie parametrisiere ich denn hier überhaupt ? Was gibt es da zu beachten ?
Vielen Dank und LG
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Hallo bammbamm,
> Gegeben ist der Körper
> [mm]K={(x,y,z)\in\IR^3 | 0\le x \le 2, z\ge 0, z^2+y^2-2*y \le 8}[/mm]
>
> a) Was ist K für ein Körper ? Fertigen Sie eine Skizze
> an.
>
> b) Bestimmen Sie eine Parametrisierung des Körpers K und
> berechnen Sie dessen Masse [mm]m_{K}[/mm] für die Dichteverteilung
> [mm]p_{K}(x,y,z)[/mm] = [mm]x+y^2-2*y+2[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{2}*x^2 \\ y_{z}^2-x_{z}^3-x^2*z^2 \\ z*(y-1)^2-x^3}[/mm]
>
>
> Zur a)
>
> Ich weis, dass [mm]z^2+y^2-2*y \le[/mm] 8 eine halbe ( z [mm]\ge[/mm] 0)
> Kreisfläche in der y-z-Ebene beschreibt, welcher die Tiefe
> 2 (0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2) hat.
>
> Wie komme ich jedoch auf den Radius und sonstige Werte ?
Hierzu mußt Du zunächst auf die Gleichung
[mm]z^2+y^2-2*y = 8[/mm]
quadratische Ergänzung anwenden, um
auf eine Kreisgleichung zu kommen.
> Was bedeutet das (-2*y) in der Ungleichung ? Das der
> Mittelpunkt [mm]y_{M}[/mm] um 2 verschoben ist ? also [mm]y_{M}=2[/mm] ?
>
Nein.
> Zu b)
>
> Hier stehe ich völlig auf dem Schlauch was die
> Parametrisierung angeht. Wie parametrisiere ich denn hier
> überhaupt ? Was gibt es da zu beachten ?
>
> Vielen Dank und LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mi 16.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Hierzu mußt Du zunächst auf die Gleichung
>
> [mm]z^2+y^2-2*y = 8[/mm]
>
> quadratische Ergänzung anwenden, um
> auf eine Kreisgleichung zu kommen.
Hallo,
wenn ich [mm] z^2+y^2-2*y [/mm] = 8 nach y quadratisch Ergänze, erhalte ich:
[mm] (y-1)^2+z^2-1=8
[/mm]
Also ist mein Mittelpunkt bei [mm] y_{M}=1. [/mm] Was sagt mir hier [mm] z^2-1 [/mm] ? Ist z ebenfalls um 1 in positive Achsenrichtung verschoben ? Also [mm] z_{M}=1 [/mm] ?
Und der Radius ist [mm] \wurzel{8} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] ?
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Hallo bammbamm,
> > Hierzu mußt Du zunächst auf die Gleichung
> >
> > [mm]z^2+y^2-2*y = 8[/mm]
> >
> > quadratische Ergänzung anwenden, um
> > auf eine Kreisgleichung zu kommen.
>
> Hallo,
>
> wenn ich [mm]z^2+y^2-2*y[/mm] = 8 nach y quadratisch Ergänze,
> erhalte ich:
> [mm](y-1)^2+z^2-1=8[/mm]
>
> Also ist mein Mittelpunkt bei [mm]y_{M}=1.[/mm] Was sagt mir hier
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]z^2-1[/mm] ? Ist z ebenfalls um 1 in positive Achsenrichtung
> verschoben ? Also [mm]z_{M}=1[/mm] ?
Nein.
> Und der Radius ist [mm]\wurzel{8}[/mm] = [mm]2*\wurzel{2}[/mm] ?
Nein, der Radius ist [mm]\wurzel{8+1}=3[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] (y-1)^2+z^2-1=8 [/mm] $ [mm] \gdw $(y-1)^2+(z-0)^2=9$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 16.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> [mm](y-1)^2+z^2-1=8[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](y-1)^2+(z-0)^2=9[/mm]
>
> FRED
>
Selbstverständlich! Jetzt sehe ich auch die Daten der Kreisscheibe!
Nun zur b)
Ich würde z.B. so parametrisieren:
( t , [mm] 1+r*cos(\phi), r*sin(\phi) [/mm] ) für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2, 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 3, 0 [mm] \le \phi \le 2*\pi
[/mm]
Ist das korrekt ?
Wie soll ich nun für gegebene Dichteverteilung die Masse aus dieser Parametrisierung berechnen ?
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Hallo bammbamm,
> > [mm](y-1)^2+z^2-1=8[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](y-1)^2+(z-0)^2=9[/mm]
> >
> > FRED
> >
>
>
> Selbstverständlich! Jetzt sehe ich auch die Daten der
> Kreisscheibe!
>
> Nun zur b)
>
> Ich würde z.B. so parametrisieren:
> ( t , [mm]1+r*cos(\phi), r*sin(\phi)[/mm] ) für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 2, 0
> [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 3, 0 [mm]\le \phi \le 2*\pi[/mm]
>
> Ist das korrekt ?
Ja.
> Wie soll ich nun für gegebene Dichteverteilung die Masse
> aus dieser Parametrisierung berechnen ?
Gruss
MathePower
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> > Wie soll ich nun für gegebene Dichteverteilung die Masse
> > aus dieser Parametrisierung berechnen ?
>
> Das Stichwort hier lautet: Satz von Gauß.
Aber doch kaum für die Massenberechnung, sondern
für die zweite Teilaufgabe !
Für die Massenberechnung ist auch die Parametrisierung
nicht unbedingt hilfreich.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 16.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
Mit
[mm] m_{K}=\integral_{K}^{}{p(x) dx} [/mm] und somit
[mm] \integral_{0*sin(0)}^{3*sin(2*\pi)}\integral_{1+0*cos(0)}^{1+3*cos(2*\pi)}\integral_{0}^{2}{x+y^2-2*y+2 dxdydz}
[/mm]
Komme ich dann auf eine Masse von [mm] m_{K}=0. [/mm] Das kann ja nicht sein ?
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Hallo bammbamm,
> Mit
> [mm]m_{K}=\integral_{K}^{}{p(x) dx}[/mm] und somit
>
> [mm]\integral_{0*sin(0)}^{3*sin(2*\pi)}\integral_{1+0*cos(0)}^{1+3*cos(2*\pi)}\integral_{0}^{2}{x+y^2-2*y+2 dxdydz}[/mm]
>
Hier sind Parametrisierung und kartesische Koordinaten
durcheinander geraten.
Bestimme zunächst die Grenzen in kartesischen Koordinaten.
> Komme ich dann auf eine Masse von [mm]m_{K}=0.[/mm] Das kann ja
> nicht sein ?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 16.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
Nunja, die Begrenzungen in kartesischen Koordinaten wären:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3, -2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 4
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Hallo bammbamm,
> Nunja, die Begrenzungen in kartesischen Koordinaten
> wären:
>
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2, 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 3, -2 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 4
Die Grenzen für z sind doch von y abhängig.
Gruss
MathePower
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> Gegeben ist der Körper
> [mm]K={(x,y,z)\in\IR^3 | 0\le x \le 2, z\ge 0, z^2+y^2-2*y \le 8}[/mm]
>
> a) Was ist K für ein Körper ? Fertigen Sie eine Skizze
> an.
>
> b) Bestimmen Sie eine Parametrisierung des Körpers K und
> berechnen Sie dessen Masse [mm]m_{K}[/mm] für die Dichteverteilung
> [mm]p_{K}(x,y,z)[/mm] = [mm]x+y^2-2*y+2[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{2}*x^2 \\ y_{z}^2-x_{z}^3-x^2*z^2 \\ z*(y-1)^2-x^3}[/mm]
Hallo bammbamm,
für alle Rechnungen in dieser Aufgabe würde ich vorschlagen,
zuerst die Variablensubstitution u:=y-1 vorzunehmen.
Und:
1.) was sind übrigens [mm] y_z [/mm] und [mm] x_z [/mm] ? Konstanten ?
2.) Ist mit "Fluss" der Fluss durch die Oberfläche des
Körpers gemeint ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mi 16.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo bammbamm,
>
> für alle Rechnungen in dieser Aufgabe würde ich
> vorschlagen,
> zuerst die Variablensubstitution u:=y-1 vorzunehmen.
>
> Und:
>
> 1.) was sind übrigens [mm]y_z[/mm] und [mm]x_z[/mm] ? Konstanten ?
>
Das ist eine gute Frage. Dazu steht leider nichts weiteres in der Aufgabe.
> 2.) Ist mit "Fluss" der Fluss durch die Oberfläche des
> Körpers gemeint ?
>
Ja.
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