Parametrisierung einer Kurve < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 21.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Die Kurve [mm] \bruch{x^{2}}{9}+\bruch{y^{2}}{4}<1, [/mm] y<0 soll parametrisiert werden. |
Hallo zusammen, hierbei scheint es sich um einen Halbkreis in der negativen Halbebene (y<0) zu handeln.
Wie kann ich generell vorgehen, um mir ein Bild über das Aussehen von solchen Gebilden machen zu können und die Kurve zu parametrisieren? Die Gleichung nach x oder y auflösen und einsetzen?
Bei der Parameterdarstellung muss ich ja dann kommen auf:
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}, [/mm] was den Kurvenrand genau beschreibt.
Wenn ich eine einfache Funktion habe, z.B. [mm] f(x)=x^{2} [/mm] bekomme ich als Parameterdarstellung z.B.
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t^{2}}
[/mm]
Vielen Dank und viele Grüße!
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du den Rand parameterisieren möchtst, dann kannst du das doch so machen:
x(t)=3sin t
y(t)=2cos t.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 21.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Hund, vielen Dank für Deinen post! Ja, das ist genau das, wie ich es mir vorgestellt habe.
Könntest Du mir bitte auch erklären, wie man von der gegebenen (Un-)Gleichung zu dieser Parametrisierung kommt? Gibt es da eine generelle Vorgehensweise bzw. ein "Kochrezept"?
Wie wird insbesondere dann auch der Wertebereich für [mm] \vec{x(t)} [/mm] z.B.[-1,1] festgelegt?
Vielen dank noch einmal für Deine Antwort!
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
der Rand ist ja gegeben durch:
x²/9+y²/4=1.
Ich bin von der Gleichung sin² t + cos² t = 1 ausgegangen und dann sieht man erkennt man ja die Parameterisierung. Allerdings musst du noch auf den Definitionsbereich von t ahten. Den die obere Gleichung beschreibt eine Ellipse, du möchtest aber nur die "halbe Ellipse" unter der x-Achse haben, da y<0, also muss 2cos t <0 sein.
Du hättes prinzipiell auch die Gleichung auflösen können, aber dann wird es komlizierter. Ein generelles Verfahren gibt es nicht. Die Aufgaben auf den Übungsblättern sind aber meist so gewählt, dass man die Parameterisierung schnell erkennt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mi 21.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Hund, vielen Dank für Deinen post. Das es keine generelle Vorgehensweise gibt, beruhigt mich 
Jedenfalls ist es mir jetzt deutlich klar geworden, wie Du drauf gekommen bist.
Ich hatte auch die Gleichung =1 gestzt und nach x bzw. y aufgelöst.
Das hat mich aber irgendwie nicht viel weiter gebracht.
Danke Dir nochmals für Deine ausführliche Erklärung!
Viele liebe Grüße, Andreas
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