Parametrisierung/Einheitssphäre < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 So 06.06.2004 | | Autor: | Volker84 |
Hier ist eine Aufg. meines Übungsblattes, mit der ich ein paar Problemchen habe.
Sei S²:={x aus R³| |x|=1} die Einheitssphäre in R³
. Geben sie die Parametrisierung f:[0,Pi]x[0,2Pi) -->S² Teilmenge R³ , (Theta, Phi) -->f(Theta, Phi) der Sphäre an.
Bestimmen Sie die Urbilder des Nordpols x=(0,0,1) und des Südpols x=(0,0,-1).
Geben Sie mit Hilfe von f eine Parametrisierung des Äquators A:={x aus R³| |x|=1, x3=0} an.
Danke für eine Antwort
Gruß Volker
![[]](/images/popup.gif) http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001215&read=1&kat=Studium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 So 06.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Volker84,
willkommen im MatheRaum  !
> Hier ist eine Aufg. meines Übungsblattes, mit der ich ein
> paar Problemchen habe.
Welche Problemchen denn genau?
> Sei S²:={x aus R³| |x|=1} die Einheitssphäre in R³
> . Geben sie die Parametrisierung f:[0,Pi]x[0,2Pi) -->S²
> Teilmenge R³ , (Theta, Phi) -->f(Theta, Phi) der Sphäre
> an.
$f: [mm] [0,\pi]\times[0,2\pi]\to S^2\subset \IR^3$
[/mm]
[mm] $(\theta, \phi)\mapsto f(\theta, \phi)$
[/mm]
Die Parametrisierung ist doch recht naheliegend, jedenfalls vom Prinzip her.
Stelle dir einen Armreif vor, der um eine Mandarine (um irgendeine Achse) rotiert.
Wenn du den Armreif um 180° [mm] (=\pi) [/mm] gedreht hast, wurde jeder Punkt auf der Oberfläche der Mandarine vom Armreif überstrichen.
Der Rotationswinkel des Armreif ist also [mm] $\theta$.
[/mm]
Eine Rotation auf dem Armreif selbst kann durch den zweiten Parameter [mm] $\phi$ [/mm] beschrieben werden.
Wir haben also zwei sich überlagernde Rotationen, die aber recht simpel durch eine Hintereinanderausführung folgender Rotationen beschrieben werden können:
Stelle dir einen Einheitskreis in der yz-Ebene vor.
Parametrisiere diesen zunächst durch den Parameter [mm] $\phi$.
[/mm]
Nun rotiere diesen Kreis um die z-Achse, gemäß Parameter [mm] $\theta$.
[/mm]
Beide Rotationen können also auf die Rotation (-smatrix) eines Punktes innerhalb einer Ebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] beschrieben werden.
> Bestimmen Sie die Urbilder des Nordpols x=(0,0,1) und des
> Südpols x=(0,0,-1).
> Geben Sie mit Hilfe von f eine Parametrisierung des
> Äquators A:={x aus R³| |x|=1, x3=0} an.
Wenn wir die Parametrisierung haben, dürfte das kein Problem mehr sein.
> http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001215&read=1&kat=Studium
Danke für den Link
Wenn du auch nett zu den Leuten auf onlinemathe.de sein willst, setze dort jetzt auch einen Link auf unsere Diskussion.
Viele Grüße,
Marc
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