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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:35 Do 15.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
| Aufgabe | | Seien $ M [mm] \subset \IR^n [/mm] $ eine m-dim. Untermannigfaltigkeit, [mm] $\gamma_1 [/mm] : [mm] D_1 \to [/mm] M $ und $ [mm] \gamma_2 [/mm] : [mm] D_2 \to [/mm] M $ zwei Parametrisierungen von Flächenstücken mit $ U := [mm] \gamma_1 (D_1) \cap \gamma_2 (D_2) \not= \emptyset$. [/mm] Dann ist $ [mm] \gamma_2^{-1} \circ \gamma_1 [/mm] : [mm] \gamma_1^{-1}(U) \to \gamma_2^{-1}(U) [/mm] $ ein Diffeomorphismus. |
Ich weiß bereits dass die beiden Parametrisierungen stetig und diff.bar sind und deren Differentiale injektiv sind.
Mein Problem liegt jetzt bei den Umkehrabbildungen, sprich wie ich zeige dass diese überhaupt definiert sind und dann auch noch stetig diff'bar.
Der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit wäre zwar ein guter Kandidat, allerdings fehlt mir hierzu dass die Differentiale nicht nur injektiv, sondern auch surjektiv sind, also Isomorphismen. Wären M und [mm] $D_1$ [/mm] bzw. [mm] $D_2$ [/mm] jeweils gleichdimensional, wäre es klar. Davon kann man aber nicht zwingend ausgehen, zumindest soweit ich das sehe.
Ein weiterer Ansatz den wir kurz angedacht hatten war eine weitere Parametr. [mm] \gamma_3 [/mm] die man so wählt, dass $ [mm] \gamma_3 [/mm] = [mm] \phi^{-1}|_{\IR^n x {0}} [/mm] $ wobei [mm] \phi [/mm] eine Karte für M auf U, also ein Diffeomorphismus. Dann wäre natürlich $ [mm] \gamme_3^{-1}\circ\gamma_1 [/mm] $stetig diffbar, und wenn jetzt noch$ [mm] \gamma_2^{-1}\circ\gamma_3 [/mm] $ stetig diffbar wäre, wäre die Beh schon so gut wie gezeigt. Allerdings lässt sich das auch wieder kaum zeigen ohne davon auszugehen dass [mm] \gamma_2^{-1} [/mm] schon stetig diffbar ist, aber sobald man das weiß braucht man [mm] \gamma_3 [/mm] gar nicht mehr. Vielleicht hat ja irgend jemand eine zündende Idee, ich wäre äusserst dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:53 So 18.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo R4ph43l!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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