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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Di 09.07.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei [mm] $U\subseteq\mathbb{C}$ [/mm] offen, [mm] $\gamma$ [/mm] ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $f\colon\mbox{ Bild }(\gamma)\times U\to\mathbb{C}$ [/mm] eine stetige Funktion. Betrachte das Parameterintegral
[mm] $F(z):=\int_{\gamma}f(w,z)\, [/mm] dw, [mm] z\in [/mm] U$.
Zu zeigen ist:
Ist für jedes [mm] $\omega\in\mbox{ Bild }(\gamma)$ [/mm] die Funktion [mm] $z\mapsto [/mm] f(w,z)$ holomorph in $U$, mit auf [mm] $\mbox{Bild}(\gamma)\times [/mm] U$ stetiger Ableitung [mm] $\frac{\partial}{\partial z}f(w,z)$, [/mm] so ist $F(z)$ holomorph und es darf unter dem Integral differenziert werden:
[mm] $F'(z)=\int_{\gamma}\frac{\partial}{\partial z}f(w,z)\, [/mm] dw, [mm] z\in [/mm] U$ |
Ich persönlich habe diese Frage nirgens anders gestellt, habe aber gesehen, dass sie jemand anders hier gestellt hat:
http://matheplanet.com/
Ich würd gern den Beweis hinbekommen, weiß aber nicht, wie!
In dem Link wird auf Königsberger verwiesen, aber es nützt mir nichts, den Beweis in einem Buch nachzulesen!
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 10.07.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]U\subseteq\mathbb{C}[/mm] offen, [mm]\gamma[/mm] ein stückweise
> stetig differenzierbarer Weg in [mm]\mathbb{C}[/mm] und
> [mm]f\colon\mbox{ Bild }(\gamma)\times U\to\mathbb{C}[/mm] eine
> stetige Funktion. Betrachte das Parameterintegral
>
> [mm]F(z):=\int_{\gamma}f(w,z)\, dw, z\in U[/mm].
>
> Zu zeigen ist:
>
> Ist für jedes [mm]\omega\in\mbox{ Bild }(\gamma)[/mm] die Funktion
> [mm]z\mapsto f(w,z)[/mm] holomorph in [mm]U[/mm], mit auf
> [mm]\mbox{Bild}(\gamma)\times U[/mm] stetiger Ableitung
> [mm]\frac{\partial}{\partial z}f(w,z)[/mm], so ist [mm]F(z)[/mm] holomorph
> und es darf unter dem Integral differenziert werden:
>
> [mm]F'(z)=\int_{\gamma}\frac{\partial}{\partial z}f(w,z)\, dw, z\in U[/mm]
>
> Ich persönlich habe diese Frage nirgens anders gestellt,
> habe aber gesehen, dass sie jemand anders hier gestellt
> hat:
> http://matheplanet.com/
>
> Ich würd gern den Beweis hinbekommen, weiß aber nicht,
> wie!
Da die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen notwendige Bedingungen für die Holomorphie darstellen, würde ich erstmal diese für $F(z)$ aufstellen.
Viele Grüße
Rainer
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