Parameterfreie Form der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme auf 2 Arten eine parameterfreie Form der Ebene [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] g:\overrightarrow{X}=\vektor{2\\ 1 \\5}+s*\vektor{1\\ 2 \\1}+t*\vektor{-2\\ -1 \\3}
[/mm]
Wie kann ich hier nun jedoch mit 3 überkreuzen???
Bitte um Erklärung! |
Mein Versuch:
x=2+s-2t
y=1+2s-t
z=5+s+3t
x=2+s-2t /*-2
y=1+2s-t
-2x+y=-3+3t
y=1+2s-t
z=5+s+3t/*-2
-2x+y=-3+3t /*7
y-2z=-4-7t /*3
-14x+10y-6z=33
Kann dass Stimme bzw. wie berechne ich mir das richtig?
Die zweite Variante war das Kreuzprodukt? Wie wende ich das hier jedoch richtig an?
x= [mm] \vektor{1\\ 5}*\vektor{2\\ 1}*\vektor{-1\\ 3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mo 17.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme auf 2 Arten eine parameterfreie Form der Ebene
> [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]g:\overrightarrow{X}=\vektor{2\\ 1 \\5}+s*\vektor{1\\ 2 \\1}+t*\vektor{-2\\ -1 \\3}[/mm]
>
> Wie kann ich hier nun jedoch mit 3 überkreuzen???
>
> Bitte um Erklärung!
> Mein Versuch:
> x=2+s-2t
> y=1+2s-t
> z=5+s+3t
>
> x=2+s-2t /*-2
> y=1+2s-t
> -2x+y=-3+3t
>
> y=1+2s-t
> z=5+s+3t/*-2
>
> -2x+y=-3+3t /*7
> y-2z=-4-7t /*3
Das stimmt nicht . -2z=-10-2s-6t
>
> -14x+10y-6z=33
>
> Kann dass Stimme bzw. wie berechne ich mir das richtig?
>
> Die zweite Variante war das Kreuzprodukt? Wie wende ich das
> hier jedoch richtig an?
>
> x= [mm]\vektor{1\\ 5}*\vektor{2\\ 1}*\vektor{-1\\ 3}[/mm]
???? Was soll das denn ?
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Das liefert Dir einen Normalenvektor der Ebene.
FRED
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Bedeutet das nun folgendes:
-2x+y=3+3t
y-2z=-9-7t
-2x+y=3+3t /*7
y-2z=-9-7t /*3
-14x+10y-6z=-6
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 17.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bedeutet das nun folgendes:
>
> -2x+y=3+3t
Hier hattest Du vorher: -2x+y=-3+3t
FRED
> y-2z=-9-7t
>
> -2x+y=3+3t /*7
> y-2z=-9-7t /*3
>
> -14x+10y-6z=-6
> ???
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Das heißt nun:
-14x+10y-6z=-48> > Bedeutet das nun folgendes:
> >
> > -2x+y=3+3t
>
> Hier hattest Du vorher: -2x+y=-3+3t
>
> FRED
>
>
> > y-2z=-9-7t
> >
> > -2x+y=3+3t /*7
> > y-2z=-9-7t /*3
> >
> > -14x+10y-6z=-6
> > ???
>
Eine dumme und mir sehr peinliche Frage, aber woher weiß ich, welche die Richtungsvektoren sind (für das Kreuzprodukt)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 17.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt nun:
> -14x+10y-6z=-48>
Ja.
> Bedeutet das nun folgendes:
> > >
> > > -2x+y=3+3t
> >
> > Hier hattest Du vorher: -2x+y=-3+3t
> >
> > FRED
> >
> >
> > > y-2z=-9-7t
> > >
> > > -2x+y=3+3t /*7
> > > y-2z=-9-7t /*3
> > >
> > > -14x+10y-6z=-6
> > > ???
> >
>
>
> Eine dumme und mir sehr peinliche Frage, aber woher weiß
> ich, welche die Richtungsvektoren sind (für das
> Kreuzprodukt)
Wirf Google an, gib "Ebenengleichung" ein, werd fündig.
FRED
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Bedeutet das nun:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 5}*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] x=\vektor{1 \\ 5}*\vektor{2 \\ 1}=1-10=-9
[/mm]
y= [mm] -[\vektor{2 \\ 5}*\vektor{1 \\ 1}]=-[2-5]=3
[/mm]
[mm] z=\vektor{2 \\ 1}*\vektor{1 \\ 2}=4-1=3
[/mm]
[mm] \vektor{-9 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
das kann doch nicht stimmen oder?
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Hallo,
Du hast gegeben die Ebene
[mm] E:\qquad \overrightarrow{x}=\vektor{2\\ 1 \\5}+s*\vektor{1\\ 2 \\1}+t*\vektor{-2\\ -1 \\3} [/mm] , [mm] \qquad s,t\in \IR,
[/mm]
und Du möchstest nun mithilfe des Kreuzproduktes einen Normalenvektor der Ebene bestimmen, um anschließend die Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen zu können.
Der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht auf der Ebene.
Also steht er senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene.
Es ist also das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren zu bilden.
Die Richtungsvektoren sind die Vektoren, die mit den Parametern multipliziert werden.
Das andere ist der Stützvektor, der Vektor, der bestimmt, wo im Raum die Ebene liegt.
Damit sollte klar sein, was Du zuvor verkehrt gemacht hast.
Wenn Du ein Kreuzprodukt bildest, schreib auch ein Kreuzprodukt hin, und nicht ein Skalarprodukt.
LG Angela
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Stimmt das dann:
[mm] x=\vektor{2 \\ 1}*\vektor{-1 \\ 3}=6-(-1)=7
[/mm]
[mm] y=-[\vektor{1 \\ 1}*\vektor{-2 \\ 3}]=-[3-(-2)]=-5
[/mm]
[mm] z=\vektor{1 \\ 2}*\vektor{-2 \\ -1}=-1+4=3
[/mm]
somit wäre der [mm] Normalvektor:\vektor{7 \\ -5 \\ 3}
[/mm]
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Hallo,
warum machst Du es den gutmütigen Menschen, die Dir helfen wollen, so schwer?
Irgendwie wär's ganz nett, wenn man die Ebenengleichung vor Augen hätte. (Kopieren oder Zitieren. Das macht doch kaum Mühe. (?))
Dann wär's schön, wenn Du hinschreiben würdest, was Du gerade ausrechnest.
> Stimmt das dann:
> [mm]x=\vektor{2 \\ 1}*\vektor{-1 \\ 3}=6-(-1)=7[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
Es ist nämlich [mm] \vektor{2 \\ 1}*\vektor{-1 \\ 3}=-2+3=1.
[/mm]
Gibt es eigentlich irgendeinen tieferen Grund dafür, daß Du das Zeichen fürs Skalarprodukt verwendest, aber etwas ganz anderes ausrechnest?
> [mm]y=-[\vektor{1 \\ 1}*\vektor{-2 \\ 3}]=-[3-(-2)]=-5[/mm]
>
> [mm]z=\vektor{1 \\ 2}*\vektor{-2 \\ -1}=-1+4=3[/mm]
> somit wäre der
> [mm]Normalvektor:\vektor{7 \\ -5 \\ 3}[/mm]
Ja, das ist ein Normalenvektor der Ebene E.
LG Angela
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