Parameterdarstellung - Ellipse < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Ellipse mit der Gleichung [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1
[/mm]
Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung, die Tangente in einem allgemeinen Punkt und der umschlossene Flächeninhalt, letzterer mit Hilfe der Leibnizschen Sektorformel
[mm] A=\bruch{1}{2}\integral{det(c,c') dt} [/mm] |
Leider stehe ich bei dieser Aufgabe momentan ziemlich auf der Leitung.
Naja die allgemeine Darstellung einer Kurve in Parameterform im [mm] \IR_{2} [/mm] ist ja
[mm] c(t)=(c_{1}(t),c_{2}(t))
[/mm]
Nur wie komme ich auf diese [mm] c(t) [/mm]? Beziehungsweise wann und wie führe ich den Parameter [mm] t [/mm] ein?
Herauskommen müsste ja eigentlich [mm] c(t)=\vektor{a*cost \\ b*sint} [/mm]
...
Nun ja...
Der zweite Teil der Aufgabe ist mir klar, (wie man die Tangente bildet) nur beim Flächeninhalt bin ich wieder etwas verwirrt.
Und zwar frage ich mich: Ist der "umschlossene Flächeninhalt" einfach der Flächeninhalt der Ellipse?
Und was ist mit [mm] det(c,c') [/mm] gemeint? Ist das etwa die Determinante der 2x2 Matrix die sich aus den beiden Vektoren [mm] c(t) [/mm] und [mm] c'(t) [/mm] ergibt?
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
alle deine Fragen mit ja beantwortet. det(c,c' kann man auch als vektorprodukt bezeichnen, falls c aus [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Wenn du die fkt [mm] y=b*\wurzel{1-x^2/a^2} [/mm] integrierst um etwa 1/4 der Ellipse zu kriegen, brauchst du für das Integral genau die Umformungen, die du auch bei der parametrisierung hast. Zudem sollst du lernen Flächen von geschlossenen Kurven zu berechnen, die man nicht immer wenigstens teilweise als Graph von Funktionen darstellen kann. Hier ist es wirklich viel einfacher die Flache so zu berechnen.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Ellipse mit der Gleichung [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1 [/mm]
Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung, die Tangente in einem allgemeinen Punkt und der umschlossene Flächeninhalt, letzterer mit Hilfe der Leibnizschen Sektorformel
[mm] A=\bruch{1}{2}\integral{det(c,c') dt} [/mm] |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort!
Leider verstehe ich die Antwort nicht ganz:
Also, das mit der Fläche ist mir dann klar aber was soll das heißen:
> Wenn du die fkt [mm]y=b*\wurzel{1-x^2/a^2}[/mm] integrierst um etwa
> 1/4 der Ellipse zu kriegen, brauchst du für das Integral
> genau die Umformungen, die du auch bei der parametrisierung
> hast.
Also die konkrete Frage ist:
Wie komme ich von dieser Form
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1 [/mm]
zu dieser Form:
[mm] c(t)=\vektor{a*cost \\ b*sint} [/mm] ?
Danke schon mal im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
von der Parameterform auf die x,y form ist klar?
umgkehrt muss man das sehen, a) es läuft was um, Kreis kennt man, der wird in einer y_ richtung mit dem Faktor b/a gestaucht. Wenn du also vom Kreis (acost,asint) ausgehst und in y- richtung um b/a stauchst kommst du auf (acost,b/a*asint)
ebenso wenn du von [mm] x^2+y^2=a^2 [/mm] ausgehst und stauchst kommst du auf [mm] x^2+a^2/b^2y^2=a^2 [/mm] die ellipsengleichng.
Gruss leduart
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Also wie geht das denn umgekehrt? (also von der Parameterdarstellung zur expliziten Darstellung)
Hm...
Also das was du schreibst klingt ja ganz logisch, nur: Dazu muss ich ja genau wissen wie Meine Funktion aussieht. (Und auch die Parameterdarstellung des Kreises kennen) Denn du kommst ja auf die Lösung in dem du sagst: Ich weiß wie eine Ellipse im vergleich zu einem Kreis aussieht, und dann mehr oder weniger logisch überlegst. Aber was mache ich wenn die Funktion beliebig ist? Bzw. wie mache ich das bei Raumkurven?
Denn das nächste Beispiel (auf meinem Zettel) wäre dann: Die Parameterdarstellung eines Torus mit der z-Achse als Rotationsachse zu finden.
?
Grüße, Strawberry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man überhaupt sin und cos Funktion kennt, dann sollte klar sein, das (cost,sint) auf dem einheitskreis liegen, mit r mult. auf Kreis mit Radius r .
natürlich muss man was über die dinger wissen, wenn man sie geschickt parametrisieren will. aber etwa sin^2t+cos^2t=1 muss man schon kennen, mit funktionen, die man nicht kennt kann man schlecht was finden.
zum Torus: du kannst nen Kreis mit Radius r in der x-z Ebene oder der in der x-y ebene. also weisst du schon wie der torus da aussehen muss
[mm] (x-M)^2+z^2=r^2, [/mm] den kannst du schon mal parametrisieren. x=M+rcost z=rsint in der x- y ebene hast du auch nen Kreis [mm] x^2+y^2=R^2 [/mm] den kannst du auch parametrisieren. jetzt läuft der Mittelpunkt des kleinen Kreises auf dem grossen rum. dann hast du alle Teile .
Das ist aber keine Raumkurve, sondern eine Fläche! Darum brauchst du auch 2 Parameter!
für eine Kurve nur einen.
Gruss leduart
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