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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:35 Mo 27.02.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | [mm] M=\{(x,|x|):x\in(-1,1)\}\subset\IR^2.
[/mm]
Warum gibt es keine reguläre Parameterdarstellung (PD) von M? |
Hallo,
M hat Dimension 1, d. h. eine PD ist eine Kurve.
Sei [mm] \gamma: [a,b]\to [/mm] M also eine beliebige stetig differenzierbare, injektive PD.
Sei [mm] x\in[a,b] [/mm] sodass [mm] \gamma(x)=(0,0).
[/mm]
Ich will zeigen, dass dann [mm] \gamma'(x)=0.
[/mm]
Ohne Einschränkung sei [mm] \gamma(a)=(-1,1). [/mm] Das geht, weil die Durchlaufsrichtung der Kurve egal ist.
[mm] \gamma'(x)=\lim_{h\to0+}\frac{\gamma(x+h)-\gamma(x)}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{\gamma(x+h)}{h}
[/mm]
Weil für h>0 gilt [mm] \gamma(x+h)\in\{(z,z):z\in(0,1)\} [/mm] folgt , dass die Komponenten von [mm] \gamma'(x) [/mm] nichtnegativ sind.
[mm] \gamma'(x)=\lim_{h\to0-}\frac{\gamma(x+h)-\gamma(x)}{h}=\lim_{h\to0-}\frac{\gamma(x+h)}{h}.
[/mm]
Hieraus folgt, dass die erste Komponente von [mm] \gamma'(x) [/mm] nichtnegativ ist:
Für h<0 ist [mm] \gamma(x+h)\in\{(-z,z):z\in(0,1)\}.
[/mm]
Insgesamt konnte ich also zeigen, dass die erste Komponente der Ableitung 0 ist.
Hat jemand eine Idee für die zweite Komponente?
Danke und Gruß,
mili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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