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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 So 05.10.2008 | | Autor: | Chryssy |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im [mm] (\IR^{3}, [/mm] < . ; . >) seien die zwei affinen Unterräume [mm] W_{1}:=\{x \varepsilon \IR^{3}| x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2 \} [/mm] und
[mm] W_{2} [/mm] = [mm] \{x \varepsilon \IR^{3}| (x-p) \perp \vektor{1 \\ 2 \\ -1} \} [/mm] mit Punkt p [mm] \varepsilon \IR^{3} [/mm] gegeben. Bestimmen Sie die Dimension und Parameterdarstellung von [mm] W_{1}, W_{2} [/mm] und U:= [mm] W_{1} \cap W_{2}. [/mm] |
Ok die Parameterdarstellung von [mm] W_{1} [/mm] ist kein Problem, ich suche eine spezielle Lösung und zwei Fundamentallösungen...
Sprich die Parameterdarstellung von [mm] W_{1} [/mm] sieht wie folgt aus:
[mm] W_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \varepsilon \IR
[/mm]
Aber wie komm ich nun auf die Parameterdarstellung von [mm] W_{2} [/mm] ich kann mir nur aus [mm] W_{2} [/mm] ablesen dass (x-p) senkrecht auf [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] steht. Aber welche x und welche p sind gemeint? Kann mir das dann jmd. erklären?
Die Dimensionen bzw. die Parameterdarstellung von U ist dann kein weiteres Problem.
Vielen Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Im [mm](\IR^{3},[/mm] < . ; . >) seien die zwei affinen Unterräume
> [mm]W_{1}:=\{x \varepsilon \IR^{3}| x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2 \}[/mm]
> und
> [mm]W_{2}[/mm] = [mm]\{x \varepsilon \IR^{3}| (x-p) \perp \vektor{1 \\ 2 \\ -1} \}[/mm]
> mit Punkt p [mm]\varepsilon \IR^{3}[/mm] gegeben. Bestimmen Sie die
> Dimension und Parameterdarstellung von [mm]W_{1}, W_{2}[/mm] und U:=
> [mm]W_{1} \cap W_{2}.[/mm]
> Wie komm ich nun auf die Parameterdarstellung von
> [mm]W_{2}[/mm] ich kann mir nur aus [mm]W_{2}[/mm] ablesen dass (x-p)
> senkrecht auf [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm] steht. Aber welche x
> und welche p sind gemeint?
Ja $p$ ist ein fest vorgegebener Vektor aus [mm] $\IR^3$, [/mm] und die Vektoren in [mm] $W_2$ [/mm] haben die Eigenschaft [mm] $\langle(x-p),\vektor{1\\2\\-1}\rangle=0$, [/mm] d.h. also falls [mm] $\langle*,*\rangle$ [/mm] das Standartskalarprodukt ist, gilt [mm] $(x_1,x_2,x_3)^T\in W_2\gdw x_1+2x_2-x_3=p_1+2p_2-p_3$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 05.10.2008 | | Autor: | Chryssy |
Hallo Robert schon mal vielen Dank für deine Antwort.
Ja ich meinte das Standartskalarprodukt.
Du hast geschrieben: [mm] W_{2} \gdw x_{1}+2x_{2}-x_{3} [/mm] = [mm] p_{1}+2p_{2}-p_{3}
[/mm]
Gehe ich dann richtig davon aus das Folgendes die Parameterdarstellung von [mm] W_{2} [/mm] ist?
[mm] W_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] x\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +y\vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] mit x,y Elemente von [mm] \IR?
[/mm]
Weil den Richtungsraum von [mm] W_{2} [/mm] erhalte ich ja durch auffinden von zwei Fundamentallösungen.
Und den Aufpunkt erhalte ich ja durch die "spezielle" Lösung. Sprich ich muss [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] ermittlen die [mm] p_{1}+2p_{2}-p_{3} [/mm] ergenben oder?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo Robert schon mal vielen Dank für deine Antwort.
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> Ja ich meinte das Standartskalarprodukt.
> Du hast geschrieben: [mm]W_{2} \gdw x_{1}+2x_{2}-x_{3}[/mm] =
> [mm]p_{1}+2p_{2}-p_{3}[/mm]
Ich habe geschrieben [mm] $(x_1, x_2, x_3)^T\in W_{2} \gdw x_{1}+2x_{2}-x_{3}= p_{1}+2p_{2}-p_{3}$. [/mm] Das ist ein kleiner, aber feiner Unterschied.
> Gehe ich dann richtig davon aus das Folgendes die
> Parameterdarstellung von [mm]W_{2}[/mm] ist?
>
> [mm]W_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]x\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +y\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> mit x,y Elemente von [mm]\IR?[/mm]
Ja fast richtig, nur wie kommst du auf [mm] $\vektor{1\\1\\1}$?
[/mm]
> Weil den Richtungsraum von [mm]W_{2}[/mm] erhalte ich ja durch
> auffinden von zwei Fundamentallösungen.
Richtig.
> Und den Aufpunkt erhalte ich ja durch die "spezielle"
> Lösung. Sprich ich muss [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] ermittlen
> die [mm]p_{1}+2p_{2}-p_{3}[/mm] ergenben oder?
Richtig. Die einfachste spezielle Lösung ist doch [mm] $x_i=p_i$, [/mm] damit hast du:
[mm]W_{2} = \left\{ p + x\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} +y\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}:x,y\in\IR\right\}[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 05.10.2008 | | Autor: | Chryssy |
Vielen Dank für deine Hilfe, und der Groschen ist gefallen.
Klar ist die einfachste Lösung [mm] p_{i} [/mm] = [mm] x_{i}
[/mm]
Vielen Dank für deine Bemühungen
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