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Hallo!
Ich habe hier in meinem Skript einen Schritt den ich nicht nachvollziehen kann. Wäre sehr froh wenn mir jemand erklären könnte was da gemahct wurde.
Ich habe folgendes gegeben:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * Matrix A.
Meine Matrix sieht wie folgt aus:
1 -1 1
0 0 0
0 0 0
Daraus erhalte ich die Gleichung:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0 ( das ist mir noch klar )
Nun steht hier jedoch:
Daraus ergibt sich folgende Parameterdarstellung des gesuchten Unterraumes:
x = a* ( 1/1/0 ) + b* ( -1/0/1 )
Ich weiß partout nicht wie ich auf diese Darstellung komme?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
im Prinzip geht das so ähnlich wie bie der letzten Aufgabe, nur dass man jetzt mehr als eine Variable frei wählen kann.
Die Matrix hat ja schon obere Dreiecksform, also braucht man da nichts mehr umformen. Schreiben wir uns mal das komplette Gleichungssystem hin (schaut zwar etwas blöd aus, aber egal):
[mm]x_1 - x_2 + x_3 = 0[/mm]
[mm]0 x_1 +0 x_2 +0 x_3 = 0[/mm]
[mm]0 x_1 +0 x_2 +0 x_3 = 0[/mm]
Und jetzt wie beim letzten mal von unten nach oben die Werte für die einzelnen Variablen ablesen:
- [mm] x_3 [/mm] aus der dritten Gleichung: da steht ja immer 0=0, also kann [mm] x_3 [/mm] beliebig gewählt werden; setze also [mm] x_3 [/mm] = a mit irgend einem a.
- [mm] x_2 [/mm] aus der zweiten Gleichung: auch hier ist immer 0=0, also ist auch [mm] x_2 [/mm] völlig frei wählbar (hängt insbesondere auch nicht von [mm] x_3 [/mm] ab). Setze lso etwa [mm] x_3 [/mm] = b.
- [mm] x_1 [/mm] aus der ersten Gleichung: Auflösen ergibt [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3
[/mm]
Die allgemeine Lösung hat also die Form
[mm]x=\vektor{b-a\\b\\a}[/mm], wobei a und b beliebig gewählt werden können. Aus der Menge dieser Vektoren soucht man nun noch zwei linear unabhängige heraus (im allgemeinen: so viele wie man frei wählbare Parameter hat), etwa indem man einmal a=0 und b=1 und einmal a=1 und b=0 setzt. Das liefert dann die Vektoren
[mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-1\\0\\1}
[/mm]
Der Lösungsraum besteht dann aus allen Linearkombinationen dieser beiden Vektoren:
[mm]b\vektor{1\\1\\0} +a \vektor{-1\\0\\1}[/mm]
Etwas klarer?
Gruß
piet
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Hallo :0)
Ja ein wenig klarer aber bis es richtig sitzt muss ich es noch etwas verinnerlichen ;)
Aber dann nochmal zur letzten Aufgabe wo wir die Gleichung des Unterraumes bestimmt haben, wie komme ich denn dort dann auf die Parameterdaratellung?
Weil irgendwie geht dann da etwas nicht so ganz auf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Wieso?
Damals hatten wir als allgemeine Lösung
[mm]x=\vektor{2a\\0\\a\\a}[/mm] (beachte, dass [mm] x_3 [/mm] hier von [mm] x_4 [/mm] abhängt!!)
und als Parameterdarstellung
[mm]a\cdot\vektor{2\\0\\1\\1}[/mm]
Das Verfahren ist genau das gleiche. Der einzige Unterschied ist, dass wir damals nur eine Unbekannte im linearen Gleichungssystem ganz frei wählen konnten, in dieser Aufgabe aber zwei Stück. Darum kam damals ein eindimensionaler Lösungsraum raus und in diesem Fall ein zweidimensinaler (weil er zwei Basisvektoren braucht).
Gruß
piet
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also ist meine parameterdarstellung hier einfach nur a* ( 2/0/1/1 )
und die Dimension somit = 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Ganz genau!
Es ist
Anzahl frei wählbarer Variablen = Dimension des Lösungsraums = Anzahl der benötigten Basisvektoren = Anzahl Summanden in der Parameterdarstellung usw.
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Super, lieben Dank :0)
Nun aber noch ein weiteres Problme. Ich habe nun also die Parameterdarstellung meines Unterraumes und soll nun den Lotraum bestimmen.
Dim U + Dim Lotraum von U = Dim [mm] R^{4} [/mm] =4
Demnach hat mein Lotraum die Dimension 3.
Der Lotraum wird somit von 3 Vektoren aufgespannt, die senkrecht auf U stehen.
Nun gut.
Das heißt ich muss 3 Vektoren finden so, dass immer das Skalarprodukt meines gefundenen Vektors mit dem Vektor der Parameterdarstellung 0 ergibt, dann sind sie orthogonal zueinander.
Aber: wie schreibe ich die Lösungsmenge dann auf?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 06.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ach so, ich habe folgende 3 Vektoren genommen:
a = ( 1/0/-1/-1)
b = ( 2/1/-2/-2 )
c = ( -3/2/3/3 )
Mit dem Vektor der Parameterdarstellung ergibt jedes Skalarprodukt 0. D.h. sie sind orthogonal zueinander,
Ich weiß nun nur nicht wie ich den Lotraum aufschreiben soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Ach so, ich habe folgende 3 Vektoren genommen:
>
> a = ( 1/0/-1/-1)
> b = ( 2/1/-2/-2 )
> c = ( -3/2/3/3 )
>
Mit den drei Vektoren hast Du ein Problem, denn die sind linear abhängig, z.B. ist c = 2b - 7a. Damit können sie schon mal keine Basis des Lotraums sein. Einen von den Vektoren wirst Du also noch gegen einen geeigneten anderen austauschen müssen.
Tipp: Wenn Du die Gleichung <x,v>=0 löst kannst Du ja wieder drei Komponenten von x frei wählen. Für die setzt Du dann am einfachsten die Tripel (1/0/0), (0/1/0) und (0/0/1) ein....
> Mit dem Vektor der Parameterdarstellung ergibt jedes
> Skalarprodukt 0. D.h. sie sind orthogonal zueinander,
>
> Ich weiß nun nur nicht wie ich den Lotraum aufschreiben
> soll?
Wenn Du dann drei passende Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] hast kannst Du ja wieder einfach
[mm]\lambda \vec{a} + \mu \vec{b} + \nu \vec{c}[/mm]
schreiben. (Diesmal musste ich für die Koeffizienten [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] verwenden, denn a, b und c waren ja schon weg...)
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Mist... :(
Dann werde ich:
a ( 1/0/-1/-1)
b ( 2/1/-2/-2)
c ( -5/0/5/5 )
nehmen. Da habe ich lineare Unabhängigkeit rausbekommen wenn mich nicht alles getäuscht hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Mist... :(
>
> Dann werde ich:
>
> a ( 1/0/-1/-1)
> b ( 2/1/-2/-2)
> c ( -5/0/5/5 )
>
> nehmen. Da habe ich lineare Unabhängigkeit rausbekommen
> wenn mich nicht alles getäuscht hat?
>
Da brauch ich jetzt noch nicht mal alle drei Vektoren, denn jetzt ist schon c = -5a :-(
Versuchen wir's nochmal allgemein. Die Orthogonalitätsbedingung lautet ja
[mm]2 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 + 1 x_4 = 0 [/mm]
...oder etwas umgeformt
[mm] x_4 = -2 x_1 - x_3[/mm]
(man hätte natürlich auch nach [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_3 [/mm] auflösen können...)
Also kann ich [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] wählen wie ich will und muss nur das [mm] x_4 [/mm] dazu passend haben.
Wie vorhin schon vorgeschlagen wähle ich jetzt immer eine der freien Variablen = 1, die anderen jeweils = 0.
[mm] x_1 [/mm] = 1, [mm] x_2 [/mm] = 0, [mm] x_3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (1/0/0/-2)
[mm] x_1 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = 1, [mm] x_3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (0/1/0/0)
[mm] x_1 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = 0, [mm] x_3 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] (0/0/1/-1)
Die dire Vektoren sollten jetzt also auch orthogonal zu unserem Ausgangsvektor sein und noch dazu linear unabhängig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 So 04.06.2006 | | Autor: | rotespinne |
ja klar.... bin wohl schon etwas zu müde wenn ich das noch nicht mal mehr sehe.....
Danke für deine geduldige Hilfe :0)
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