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| Aufgabe | | Eine Ebene [mm] E_1 [/mm] mit dem Normalenvektor [mm] n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] enthält den Punkt A(1;2;3). Bestimmen Sie den Parameter b e R des Punktes B=(b;0;-3) so, dass B den Abstand d=3 von der Ebene [mm] E_1 [/mm] besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So als erstes hab ich die Geradengleichung [mm] g_1 [/mm] aufgestellt. [mm] g_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + lambda [mm] \begin{pmatrix} 1-b \\ 2-0 \\ 3-(-3) \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] * (r - [mm] r_0)
[/mm]
Leider weiss ich jetzt nicht weiter, was ich machen soll. An das r und [mm] r_0 [/mm] komme ich im Moment nicht dran.
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
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Hallo hans-itor,
> Eine Ebene [mm]E_1[/mm] mit dem Normalenvektor [mm]n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> enthält den Punkt A(1;2;3). Bestimmen Sie den Parameter b
> e R des Punktes B=(b;0;-3) so, dass B den Abstand d=3 von
> der Ebene [mm]E_1[/mm] besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> So als erstes hab ich die Geradengleichung [mm]g_1[/mm] aufgestellt.
> [mm]g_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] + lambda
> [mm]\begin{pmatrix} 1-b \\ 2-0 \\ 3-(-3) \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]E_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] * (r - [mm]r_0)[/mm]
>
> Leider weiss ich jetzt nicht weiter, was ich machen soll.
> An das r und [mm]r_0[/mm] komme ich im Moment nicht dran.
[mm]r_{0}[/mm] ist doch ein Punkt der Ebene;';
[mm]r_{0}=\pmat{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
Besser Du verwendest hier die Geradengleichung
[mm]g: \pmat{b \\ 0 \\ -3 } + \lambda \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Dies setzt für r in die Ebenengleichung ein und
erhältst einen Wert für den Parameter [mm]\lambda[/mm].
Dann weisst Du das
[mm]\vmat{s*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}}=3[/mm]
sein muss.
Daraus erhältst Du den Wert der Unbekannten b.
>
> Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Gruss
MathePower
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Hmmm so ganz klar komme ich noch nicht damit. Warum setzt du den Normalenvektor hinter das [mm] \lambda [/mm] bei der Geradengleichung? Und Punkt B an den Anfang der Geradengleichung? Ich hab das jetzt Probeweise mal in die Ebenengleichung eingesetzt und erhalte:
[mm] E_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}*(\begin{pmatrix} b \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) [/mm] = 1b + [mm] 2\lambda [/mm] - 3=0
Damit kann ich dann leider gar nichts anfangen, weil ich so kein [mm] \lambda [/mm] oder b ausrechnen kann.
Und was für eine Abstandsformel ist [mm] \vmat{s\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}}=3 [/mm] ? Wofür steht das s?
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Hallo hans-itor,
> Hmmm so ganz klar komme ich noch nicht damit. Warum setzt
> du den Normalenvektor hinter das [mm]\lambda[/mm] bei der
> Geradengleichung? Und Punkt B an den Anfang der
> Geradengleichung? Ich hab das jetzt Probeweise mal in die
> Ebenengleichung eingesetzt und erhalte:
> [mm]E_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}*(\begin{pmatrix} b \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] -
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})[/mm] = 1b + [mm]2\lambda[/mm]
> - 3=0
Hier muss es doch lauten:
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}*(\begin{pmatrix} b \\ 0 \\ \blue{-}3 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})[/mm]
> Damit kann ich dann leider gar nichts anfangen, weil ich
> so kein [mm]\lambda[/mm] oder b ausrechnen kann.
Du kannst aber [mm]\lambda[/mm] in Abhängigkeit von b ausdrücken.
>
> Und was für eine Abstandsformel ist [mm]\vmat{s\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}}=3[/mm]
> ? Wofür steht das s?
s ist hier gleichbedeutende mit dem Parameter [mm]\lambda[/mm]
[mm]\vmat{\lambda*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}}[/mm] ist der Abstand des Punktes
[mm]\pmat{b \\ 0 \\ -3}[/mm] zum Punkt [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] auf der Ebene.
Gruss
MathePower
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Ok, dann rechne ich: [mm] \wurzel{(\bruch{3-b}{2})^2+(\bruch{3-b}{2})^2}=3
[/mm]
und erhalte für [mm] b=3(1+\wurzel{2}), [/mm] kommt das hin?
Aber nochmal zur Geradengleichung?
g: r = [mm] r_1 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] a . Ich kann leider deine Schritte nicht nachvollziehen, warm du für das [mm] r_1 [/mm] den Punkt B einsetzt und für das a das n der Ebene. Könntest du mir das erklären. Am besten für ganz Dumme, weil ich scheinbar massivst auf dem Schlauch stehe.
Vielen Dank im vorraus.
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Hallo hans-itor,
> Ok, dann rechne ich:
> [mm]\wurzel{(\bruch{3-b}{2})^2+(\bruch{3-b}{2})^2}=3[/mm]
> und erhalte für [mm]b=3(1+\wurzel{2}),[/mm] kommt das hin?
Ja, das ist eine Lösung für b. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber nochmal zur Geradengleichung?
>
> g: r = [mm]r_1[/mm] + [mm]\lambda[/mm] a . Ich kann leider deine Schritte
> nicht nachvollziehen, warm du für das [mm]r_1[/mm] den Punkt B
> einsetzt und für das a das n der Ebene. Könntest du mir
> das erklären. Am besten für ganz Dumme, weil ich
> scheinbar massivst auf dem Schlauch stehe.
Der kürzeste Abstand eines Punktes B zu einer Ebene
ist immer der Betrag des Lotes vom Punkt P auf diese Ebene.
Da der Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] auf der Ebene senkrecht steht,
muss die sich ergebende Gerade ebenfalls den Richtungsvektor [mm]\vec{n}[/mm] haben. Als Stützvektor dieser Geraden dient der Ortsvektor des Punktes B.
Daher lautet die Geradengleichung:
[mm]g:\vec{r}=\overrightarrow{OB}+\lambda*\vec{n}[/mm]
> Vielen Dank im vorraus.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mi 23.02.2011 | | Autor: | hans-itor |
Vielen Dank für deine Erklärung. Da werde ich mich bald wieder dran setzen und die Aufgabe nochmal rechnen.
Vielen Lieben Dank nochmal!
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