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| Aufgabe | | Gegeben ist [mm] f_{a}(x)= x^{3}-a^{2}x, [/mm] a>0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von [mm] f_{a} [/mm] und der x-Achse eingeschlossen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben? |
Hallo,
ich habe zuerst die Stammfunktion aufgestellt:
[mm] \integral{x^{3}-a^{2}x}= [ax^{3}-\bruch{a^{3}x}{3}]
[/mm]
Jetzt muss ich doch die Nullstellen berechnen, oder? Wie kann ich das hier am besten machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 So 01.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist [mm]f_{a}(x)= x^{3}-a^{2}x,[/mm] a>0. Wie muss a
> gewählt werden, damit die beiden von [mm]f_{a}[/mm] und der x-Achse
> eingeschlossen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?
> Hallo,
>
> ich habe zuerst die Stammfunktion aufgestellt:
>
> [mm]\integral{x^{3}-a^{2}x}= [ax^{3}-\bruch{a^{3}x}{3}][/mm]
Hallo,
das stimmt nicht, deine Variable ist immer noch x und nicht a. Eine Stammfunktion wäre [mm] $\frac{x^4}{4}- \frac{a^2x^2}{2}$.
[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch die Nullstellen berechnen, oder? Wie
> kann ich das hier am besten machen?
Bestimme die Lösungen x für die Gleichung [mm]x^{3}-a^{2}x=0[/mm] . (Der Satz vom Nullprodukt sollte helfen).
Gruß Abakus
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Den Satz vom Nullprodukt hatten wir noch nicht... Kann ich die Nullstellen auch irgendwie anders ausrechnen?
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Hallo, dann machen wir mal schnell den Satz vom Nullprodukt: ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, du suchst die Nullstellen von
[mm] f(x)=x^3-a^2x
[/mm]
[mm] f(x)=x(x^2-a^2)
[/mm]
[mm] 0=x(x^2-a^2)
[/mm]
1. Faktor ist x
2. Faktor ist [mm] x^2-a^2
[/mm]
diese gleich Null setzen
Steffi
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okay, also:
x=0
[mm] x^{2}-a^{2}= [/mm] 0
<=> x-a=0
<=> x=a
so?? Dann wäre doch das Ganze 0, weil x=0 ist...??
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Hallo leasarfati,
> okay, also:
>
> x=0
Nee, [mm] x_{N1}=0. [/mm] Das ist eine Nullstelle.
> [mm]x^{2}-a^{2}=[/mm] 0
> <=> x-a=0
Oh, wie geht dieser Rechenschritt?
> <=> x=a
Das ist auch eine Lösung, wenn auch offenbar nicht mit gültigen Mitteln gewonnen. Jedenfalls [mm] x_{N2}=a.
[/mm]
> so?? Dann wäre doch das Ganze 0, weil x=0 ist...??
Nein, Du hast jetzt zwei der drei Lösungen.
Wenn Du [mm] x^2-a^2=0 [/mm] mal korrekt auflöst, wirst Du die dritte sicher schnell finden...
Grüße
reverend
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Achso, wenn ich dann die Wurzel ziehe kommen 2 Lösungen raus: a und -a.
Wenn ich jetzt integrieren muss, muss ich dann von -a bis 0 und einmal von 0 bis a oder?
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Hallo,
> Achso, wenn ich dann die Wurzel ziehe kommen 2 Lösungen
> raus: a und -a.
Ja, eben.
> Wenn ich jetzt integrieren muss, muss ich dann von -a bis 0
> und einmal von 0 bis a oder?
Ja, jeweils dazwischen liegen die beiden gesuchten Flächen. Allerdings liegt eine oberhalb der x-Achse und die andere unterhalb. Du wirst gleich am Ergebnis sehen, warum das einen Unterschied macht. 
lg
rev
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Also das ist das 1. Integral:
[mm] \integral_{-a}^{0}{x^3-a^2x}
[/mm]
= [mm] \bruch{0^4}{4}-\bruch{0^2x^2}{2}- (\bruch{-a^4}{4}+\bruch{a^2-a^2}{2})
[/mm]
ist das bis jetzt so richtig?
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Hallo,
> Also das ist das 1. Integral:
>
> [mm]\integral_{-a}^{0}{x^3-a^2x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{0^4}{4}-\bruch{0^2x^2}{2}- (\bruch{-a^4}{4}+\bruch{a^2-a^2}{2})[/mm]
>
> ist das bis jetzt so richtig?
Nein. Was hältst Du von Klammersetzung? Insbesondere ist [mm] -a^4\not=(-a)^4, [/mm] außer für a=0, aber gegeben war ja auch a>0.
Ist zwar "nur ne Kleinigkeit", aber hier leider eine wesentliche.
lg
rev
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