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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion $ f: [mm] \IR\to\IR [/mm] mit $
$x [mm] \mapsto [/mm] f(x):= [mm] \begin{cases} ax^{3}+bx^{2}+b & \mbox{fuer} |x-1|\le1 \\ ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}x+a+3 & \mbox{fuer} |x-1|>1 \end{cases} [/mm] $
Bestimmen Sie die Parameter [mm] a\le0 [/mm] und [mm] b\ge0 [/mm] so, dass f stetig ist. |
Hallo Leute, hänge bei dieser Klausuraufgabe und zwar bei der Berechnung von a und b...
Mein Lösungsansatz bisher:
kritische Stelle bei x=2, also bei Übergang vom ersten Funktionsstrang in den zweiten.
Stetigkeitskriterium lautet:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 2^{-}} \\f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 2^{+}} \\f(x) [/mm] = [mm] \\f(2) [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 2^{-}} [/mm] 8a+4b+b [mm] =\limes_{x\rightarrow 2^{+}} [/mm] 4a+b²+a+3 = [mm] \\f(2)= [/mm] 8a+4b+b $
Um nun a und b herauszubekommen versuche ich folgendes Gleichungssystem zu lösen:
I. 8a+5b = 0 | [mm] \cdot [/mm] 5
II. 5a+b²+3 = 0 [mm] |\cdot [/mm] 8
I. 40a +25b=0
II. 40a+8b²+24=0 |II.-I.
II.-I. = 8b²-25b+24 |: 8
[mm] \gdw b^2-\bruch{25}{8}b+3
[/mm]
wenn ich dies nun versuche mithilfe der PQ-Formel aufzulösen scheitere ich, weil die Wurzel negativ wird:
[mm] \gdw x_{1,2}= -(-\bruch{\bruch{25}{8}}{2}) \pm \wurzel{(\bruch{-\bruch{25}{8}}{2})^{2} -3}
[/mm]
Der Wurzelinhalt wird hier zu [mm] \approx [/mm] -0,559 was auf den reellen Zahlen ja nicht definiert ist.
Ich weiss nicht wo der Fehler liegt :(
Gruß schwenker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion [mm]f: \IR\to\IR mit[/mm]
> [mm]x \mapsto f(x):= \begin{cases} ax^{3}+bx^{2}+b & \mbox{fuer} |x-1|\le1 \\ ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}x+a+3 & \mbox{fuer} |x-1|>1 \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Parameter [mm]a\le0[/mm] und [mm]b\ge0[/mm] so, dass f
> stetig ist.
> Hallo Leute, hänge bei dieser Klausuraufgabe und zwar bei
> der Berechnung von a und b...
> Mein Lösungsansatz bisher:
>
> kritische Stelle bei x=2,
und bei x=0 !!! Denn: |x-1|=1 [mm] \gdw [/mm] x=2 oder x=0
> also bei Übergang vom ersten
> Funktionsstrang in den zweiten.
> Stetigkeitskriterium lautet:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2^{-}} \\f(x) = \limes_{x\rightarrow 2^{+}} \\f(x) = \\f(2)[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2^{-}} 8a+4b+b =\limes_{x\rightarrow 2^{+}} 4a+b²+a+3 = \\f(2)= 8a+4b+b[/mm]
Lass hier das lim weg !!
>
> Um nun a und b herauszubekommen versuche ich folgendes
> Gleichungssystem zu lösen:
>
> I. 8a+5b = 0 | [mm]\cdot[/mm] 5
> II. 5a+b²+3 = 0 [mm]|\cdot[/mm] 8
Wie kommst Du auf diesen Blödsinn ? ???
Du bekommst die Gleichung:
8a+5b= [mm] 5a+b^2+3
[/mm]
Wenn Du mit der kritischen Stelle x=0 genauso verfährst, erhältst Du eine weitere Gleichung in a und b.
Zur Kontrolle: es sollte a=-1 und b=2 herauskommen.
(beachte: die Aufgabe fordert $ [mm] a\le0 [/mm] $ und $ [mm] b\ge0 [/mm] $)
FRED
FRED
>
> I. 40a +25b=0
> II. 40a+8b²+24=0 |II.-I.
>
> II.-I. = 8b²-25b+24 |: 8
> [mm]\gdw b^2-\bruch{25}{8}b+3[/mm]
>
> wenn ich dies nun versuche mithilfe der PQ-Formel
> aufzulösen scheitere ich, weil die Wurzel negativ wird:
>
> [mm]\gdw x_{1,2}= -(-\bruch{\bruch{25}{8}}{2}) \pm \wurzel{(\bruch{-\bruch{25}{8}}{2})^{2} -3}[/mm]
>
> Der Wurzelinhalt wird hier zu [mm]\approx[/mm] -0,559 was auf den
> reellen Zahlen ja nicht definiert ist.
>
> Ich weiss nicht wo der Fehler liegt :(
>
> Gruß schwenker
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Gegeben sei die Funktion [mm]f: \IR\to\IR mit[/mm]
> > [mm]x \mapsto f(x):= \begin{cases} ax^{3}+bx^{2}+b & \mbox{fuer} |x-1|\le1 \\ ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}x+a+3 & \mbox{fuer} |x-1|>1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Bestimmen Sie die Parameter [mm]a\le0[/mm] und [mm]b\ge0[/mm] so, dass f
> > stetig ist.
> > Hallo Leute, hänge bei dieser Klausuraufgabe und zwar
> bei
> > der Berechnung von a und b...
> > Mein Lösungsansatz bisher:
> >
> > kritische Stelle bei x=2,
>
>
> und bei x=0 !!! Denn: |x-1|=1 [mm]\gdw[/mm] x=2 oder x=0
>
> > also bei Übergang vom ersten
> > Funktionsstrang in den zweiten.
> > Stetigkeitskriterium lautet:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 2^{-}} \\f(x) = \limes_{x\rightarrow 2^{+}} \\f(x) = \\f(2)[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 2^{-}} 8a+4b+b =\limes_{x\rightarrow 2^{+}} 4a+b²+a+3 = \\f(2)= 8a+4b+b[/mm]
>
>
> Lass hier das lim weg !!
> >
> > Um nun a und b herauszubekommen versuche ich folgendes
> > Gleichungssystem zu lösen:
> >
> > I. 8a+5b = 0 | [mm]\cdot[/mm] 5
> > II. 5a+b²+3 = 0 [mm]|\cdot[/mm] 8
>
>
>
> Wie kommst Du auf diesen Blödsinn ? ???
>
> Du bekommst die Gleichung:
>
>
> 8a+5b= [mm]5a+b^2+3[/mm]
>
>
> Wenn Du mit der kritischen Stelle x=0 genauso verfährst,
> erhältst Du eine weitere Gleichung in a und b.
>
>
> Zur Kontrolle: es sollte a=-1 und b=2 herauskommen.
> (beachte: die Aufgabe fordert [mm]a\le0[/mm] und [mm]b\ge0 [/mm])
>
> FRED
>
Danke Fred für die schnelle Hilfe! Ja da hab ich etwas durcheinander geworfen bei dem Aufstellen der Gleichungen. Und die 2.kritische Stelle hab ich verpennt...
also aus der Betrachtung von x=2 bekomm ich die Gleichung
[mm] 8a+5b=5a+b^2+3 [/mm]
[mm] \gdw 3a-b^2+5b-3=0
[/mm]
Betrachtung der Stelle x=0:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}} ax^2+\bruch{1}{2}b^2x+a+3 =\limes_{x\rightarrow 0^{+}} ax^3+bx^2+b= \\f(0)= ax^3+bx^2+b
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a+3=b
[mm] \gdw [/mm] a=b-3 <--- Einsetzen in [mm] 3a-b^2+5b-3=0 [/mm] liefert:
[mm] 3\cdot(b-3)-b^2+5b-3=0
[/mm]
[mm] \gdw 3b-9-b^2+5b-3=0
[/mm]
[mm] \gdw b^2-8b+12=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (b-6)(b-2)=0
[mm] \gdw [/mm] b=6 v b=2
b=6 einsetzen in [mm] 3a-b^2+5b-3=0 [/mm] liefert:
3a-36+30-3=0
a=3
b=2 einsetzen in [mm] 3a-b^2+5b-3=0 [/mm] liefert:
3a-4+10-3=0
a=-1
Wie du schon gesagt hast fordert die Aufgabe [mm]a\le0[/mm] und [mm]b\ge0 [/mm], also fällt die Lösung b=6 [mm] \wedge [/mm] a=3 weg.
Mit den Parametern b=2 [mm] \wedge [/mm] a=-1 ist die Funktion stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Jetzt stimmts
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mi 16.02.2011 | | Autor: | schwenker |
Vielen Dank fred :)
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