Parameter bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 16.11.2008 | | Autor: | simple |
| Aufgabe | | gegeben sei die Funktion f: [mm] [0,\infty) \to \IR, [/mm] f(x)= a + b [mm] x^2, [/mm] in Abhängigkeit von zwei Parametern a,b [mm] \in \IR. [/mm] Bestimmen sie alle Parameter a, b so dass f den Wertebereich [mm] [0,\infty) [/mm] besitzt. Für welche a,b von diesem [mm] f:[0,\infty)\to[0,\infty) [/mm] injektiv, surjektiv, bzw. bijektiv |
hi,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
also für den ersten teil müsste ja a,b [mm] \le [/mm] 0 gelten
stimmt das?
und wie sieht es mit inketiv, surjektiv und bijektiv?
grüße und danke =)
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> gegeben sei die Funktion f: [mm][0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x)= a + b
> [mm]x^2,[/mm] in Abhängigkeit von zwei Parametern a,b [mm]\in \IR.[/mm]
> Bestimmen sie alle Parameter a, b so dass f den
> Wertebereich [mm][0,\infty)[/mm] besitzt. Für welche a,b von diesem
> [mm]f:[0,\infty)\to[0,\infty)[/mm] injektiv, surjektiv, bzw.
> bijektiv
> hi,
> kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
> also für den ersten teil müsste ja a,b [mm]\le[/mm] 0 gelten
> stimmt das?
> und wie sieht es mit inketiv, surjektiv und bijektiv?
>
> grüße und danke =)
Hallo!
Du hantierst hier ja mit einer Parabel rum, welche du auf der y-Achse hoch- und runterschieben kannst (a größer/kleiner) und welche du stauchen/strecken kannst sowieso nach "unten drehen" (b < 0).
Wichtig ist, dass du die Parabel immer nur auf der rechten Seite der y-Achse betrachtest, denn der Definitionsbereich ist [mm] $[0,\infty [/mm] )$ !
Überlege nun, wann der Wertebereich bei 0 "anfängt" und bei "unendlich" aufhört. Wie muss b gewählt werden, also die stauchende / streckende Variable der Parabel? Wie muss a gewählt werden, die Verschiebung in y-Richtung?
--> Die Parabel muss nach oben geöffnet sein, weil sie sonst "nach unten zeigt" und somit der Wertebereich auch negative Werte umfassen würde, was nicht gefordert ist. --> b [mm] \ge [/mm] ???
--> Die Parabel muss ihren Scheitelpunkt auf dem Koordinatenursprung haben. Wenn sie unterhalb von ihm liegen würde, würde der Wertebereich schon bei -1 oder so anfangen; das ist nicht gefordert. Würde die Parabel oberhalb des Koordinatenursprungsliegen, wären nicht alle Werte, die im Wertebereich liegen sollen ( 0 bis unendlich ), drin. Z.B. würde wahrscheinlich 0,00001 fehlen. --> a muss ??? gewählt werden.
Deine obige Idee war leider falsch. Fülle die obigen ??? aus.
Zur Surjektivität / Injektivität:
Mache dir zunächst klar, wie injektive / surjektive Funktionen aussehen. Die kann man charakteristisch unterscheiden. Wichtig ist dabei, auf den in der Aufgabenstellung geforderten Definitions- und Wertebereich zu achten.
--> Injektive Funktionen zum Beispiel dürfen niemals zweimal denselben y-Wert erreichen. Der Parameter a ist für diese Bedingung egal, er verschiebt die Funktion nur nach oben und unten, ändert aber nichts an ihrem Aussehen. Für welchen Wert b jedoch passiert es, dass zweimal (oder mehrmals) derselbe y-Wert auftritt? Genau dieser ist dann der einzige Fall, wo die Funktion nicht injektiv ist.
--> Surjektive Funktionen decken stets den gesamten Wertebereich ab. Für welche a,b ist das erfüllt?
--> Bijektiv = Injektiv + Surjektiv. Für welche a,b ist das erfüllt?
Stefan.
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