Parallelität ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 20.11.2005 | | Autor: | clownman |
Hallo
ich muss 1. diese zwei ebenen auf parralelität prüfen
2.Normalenform vergleichen der 2 ebenen
3. abstand berechnen
E1 : [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] ] x [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] = 0
E2 : [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ -5 \\ 0} [/mm] ] x [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ -2} [/mm] = 0
also zu
1. ich kann parallelität nur mit der Parameterdarstellung prüfen wie das mit der geht ( was is das überhaupt für ne datsellung?) weiss ich nicht .
das wär also sehr nett wenn mir jemand erklären könnte wie ich diese ändern kann in Paramdarstl. weil dann brauch ich doch nur noch einen richtungsvektor nehmen und gegen die andern 2 richtungvektoren ein gleichungssystem machen und zbs. m und n ausrechen und gucken ob sie komplanar sind
zu 2. wenn ich die koordinaten dartlg. der 2 ebenen habe dann is das kein problem für mich an die normalform zu kommen .
zu 3. da hab ich leider kein plan :(
mfg
bin für jede hilfe dankbar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 20.11.2005 | | Autor: | Lolli |
Deine Darstellungen für E1 und E2 sind in Normalenform gegeben.
Um die Koordinatendarstellung so wie du sie vielleicht kennst zu erhalten, muss du einfach das Skalarprodukt bilden.
Es folgt für
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] E_{2} [/mm] : [mm] -x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = -11
Die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ -2} [/mm] sind deine Normalenvektoren der jeweiligen Ebenen.
zu 1. Prüfe die Paralellität der Normalenvektoren, um herauszufinden, ob die Ebenen parallel zueinander sind.
zu 2. ergibt sich aus 1.
zu 3. den Abstand kannst du mit der Hessischen Normalenform lösen, d.h. teile den linearen Anteil von [mm] E_{2} [/mm] durch den Betrag des Normalenvektors von [mm] E_{2} [/mm] ; dies ist möglich, weil [mm] E_{1} [/mm] durch den Ursprung verläuft (--> linearer Anteil = 0)
oder leg einen Gerade durch einen punkt einer der beiden Ebenen mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor und schneide diese Geraden mit der anderen Ebene --> aus diesem Schnittpunkt und dem Punkt den du für die Gerade genommen hast erhälst du dann über die Abstandsformel zwischen zwei Punkten den Abstand zwischen den Ebenen (aus 1. ging hervor das beide Ebenen paralell sind und folglich überall den gleichen Abstand haben).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 21.11.2005 | | Autor: | clownman |
ich hab gerad irgendwie ne blockade .... ich muss doch wenn ich e1 jetzt habe x1 - x2 + x3 = 0 um die parallelität zzu überprüfen dort den richtungsvektor einsetzen?!?
also:
6 - (-5) + 0 = 0
aber das sagt mir doch jetzt nichts .... ich hab ma gelernt das wir nach m und n umstellen sollen oderso ...
i denk ma so :
m$ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] $ + n$ [mm] \vektor{6 \\ -5 \\ 0} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] $
--> das is doch jetzt aber auch falsch weil ich doch 3 richtungsvektoren brauche um die parallelität zu überprüfen ! oder net? und ich hab ja jetzt den stützvektor als 3tes genommen ... ach ich weiss net weiter ....
|
|
|
| |
|
Hallo ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]") man!
Das geht viel einfacher, da Du beide Ebenen bereits in der Normalenform gegeben hast.
Umtersuche die beiden Normalenvektoren auf lineare Abhängigkeit und überprüfe (im Erfolgsfall), ob diese Ebenen nicht auch noch identisch sind, durch Einsetzen eines Ebenenpunktes in die andere Ebenengleichung.
Noch einfacher (auch für die darauffolgende Teilaufgabe) wird es, wenn Du in die HESSE'sche Normalform umstellst, indem Du die gegebenen Ebenengleichungen durch die Länge der Normalenvektoren teilst.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
