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| Aufgabe | In welchen Punkten ist die Tangente an den Graphen der Funktion f parallel zu der Geraden mit der Gleichung y= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -4?
f(x) = x³ -x
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Hallo an alle Forenmitglieder,
diese Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Mein Lösungsansatz:
Ableitung von f(x) bilden und mit der Gleichung y gleichsetzen.
2x² - 1 = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -4
Um den Punkt zu bekommen, an dem die Tangente parallel zu der Geraden y ist, muss man doch rechnen:
2x² = 0,5
Man bekommt raus: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Im Lösungsbuch steht aber als Lösung:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
Was rechne ich also falsch?
Danke für die Hilfe im Voraus.
matherein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
Du musst hier jeweils beide Ableitungen gleichsetzen. Schließlich bedeutet "gleiche Ableitung" auch "gleiche Steigung".
Zudem hast Du dich bei der Ableitung von $f(x) \ = \ [mm] x^2-x$ [/mm] verrechnet. Es muss heißen:
$$f'(x) \ = \ [mm] \red{3}*x^2-1$$
[/mm]
Also lautet auch Deine Bestimmungsgleichung:
[mm] $$3*x^2-1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo und danke für die Korrektur Loddar!
Allerdings erhalte ich dann für x:
3x² -1 = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
3x² = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
x² = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Laut Lösungsbuch kommt doch aber für x raus:
[mm] x_{1}=\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{2}=-\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
Wie kann das sein? Und wie rechnet man die beiden y-Werte der zwei Punkte aus?
matherein
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> Hallo und danke für die Korrektur Loddar!
Hallo!
>
> Allerdings erhalte ich dann für x:
> 3x² -1 = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> 3x² = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> x² = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
> Laut Lösungsbuch kommt doch aber für x raus:
> [mm]x_{1}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]x_{2}=-\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm]
Die Lösungen sind jeweils identisch! Erweitere die Lösungen aus dem Buch mit [mm] \wurzel{2} [/mm] und du erhälst deine errechnete Lösung.
> Wie kann das sein? Und wie rechnet man die beiden y-Werte
> der zwei Punkte aus?
> matherein
>
Setze dazu einfach deine errechneten x-Werte in die (ursprüngliche) Funktion f ein.
Gruß Patrick
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Hallo Patrick,
wenn ich [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] mit [mm] \wurzel{2} [/mm] erweitere, heisst das dann, ich rechne:
[mm] \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{2}}{2*\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Warum ist aber [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] gleich [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] oder habe ich beim Erweitern irgendetwas falsch gerechnet?
Wenn ich jetzt [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] in [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -4 einsetze erhalte ich [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}-4.
[/mm]
Aber weiter weiss ich nicht!
Laut Lösungsbuch kommt raus: [mm] y_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}\wurzel{2} [/mm] und
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2}
[/mm]
Bitte um weitere Hilfe.
matherein
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> Hallo Patrick,
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> wenn ich [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] mit [mm]\wurzel{2}[/mm] erweitere,
> heisst das dann, ich rechne:
> [mm]\bruch{\wurzel{2}*\wurzel{2}}{2*\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Warum ist aber [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] gleich
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] oder habe ich beim Erweitern
> irgendetwas falsch gerechnet?
Hallo,
Du hast völlig richtig gerechnet.
Die Erklärung für [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] könnten die potenzgesetze liefern, z.B. so:
[mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{2}}}=2^{-\bruch{1}{2}}=2^{-1*\bruch{1}{2}}=(2^{-1})^\bruch{1}{2}=(\bruch{1}{2})^\bruch{1}{2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] in [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] -4
> einsetze
Du suchst doch Punkte auf dem Graphen der Funktion f(x)=f(x) = x³ -x .
Also mußt Du auch hier einsetzen.
Gruß v. Angela
erhalte ich [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}-4.[/mm]
> Aber weiter weiss ich nicht!
> Laut Lösungsbuch kommt raus: [mm]y_{1}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm]
>
> Bitte um weitere Hilfe.
> matherein
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Danke für die Hilfe bei Umformen, Angela!
Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf [mm]y_{1}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] kommen kann, wenn man in f(x) = x³ - x das [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] einsetzt, da doch kein negatives Ergebnis rauskommen dürfte.
Mit der Bitte um Hilfe
matherein
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Hallo matherein,
> Danke für die Hilfe bei Umformen, Angela!
>
> Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf [mm]y_{1}[/mm] =
> > [mm]-\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] kommen kann, wenn man in f(x) =
> x³ - x das [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] einsetzt, da doch kein
> negatives Ergebnis rauskommen dürfte.
>
> Mit der Bitte um Hilfe
Na, du hast doch die beden x-Werte [mm] $x_1=\red{+}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2=\red{-}\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] oben berechnet.
Wenn du die in [mm] $f(x)=x^3-x$ [/mm] einsetzt, bekommst du
1) [mm] $f(x_1)=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{8}-\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{-2\sqrt{2}}{8}=\red{-}\frac{1}{4}\sqrt{2}$
[/mm]
2) [mm] $f(x_2)=f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=......=\red{+}\frac{1}{4}\sqrt{2}$
[/mm]
Rechne 2) mal nach (genau wie 1))
> matherein
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mo 29.12.2008 | | Autor: | matherein |
Guten Abend schachuzipus,
vielen herzlichen Dank für die ausführliche Antwort.
LG
matherein
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