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| Aufgabe | | Berechne die von der Parabel [mm] f(x)=x^2 [/mm] und den durch den Punkt P (0 , -1) gehenden Tangenten eingeschlossene Fläche. |
Reicht es (in diesem Fall) aus, dass ich die Differenzfunktion der Parabel und der einen Tangente [mm] t_1(x) [/mm] im Intervall [0 ; [mm] x_B_1] [/mm] und die gesuchte Fläche mit 2 multipliziere ?
Alle Funktionen sind ja achsensymmetrisch zur y-Achse.
Mein Rechenweg:
zuerst musste ich die Tangentenfunktion berechnen.
es gilt: t(x)=mx+n und t'(x)=m
Nun setze ich die Werte des Punktes P in die erste Gleichung ein und erhalte:
t(0)=-1=m*0+n [mm] \Rightarrow [/mm] n=-1
Für die gesuchte Tangentengleichung habe ich dann
[mm] t(x_B)=m*(x_B)-1 [/mm] und [mm] t'(x_B)=m [/mm] Jetzt nahm ich die 1.Ableitung von f(x) zu Hilfe:
[mm] f'(x_B)=2, [/mm] da [mm] t'(x_B)=f'(x_B)=m [/mm] ist, hatte ich für die eine Tangente die Steigung 2.
Die Tangentengleichung lautete nun: [mm] t_1(x)=2x-1
[/mm]
Nun setzte ich [mm] f(x)=t_1(x) [/mm] und erhielt [mm] x^2=2x-1
[/mm]
Mit Umstellung und der pq-Formel erhielt ich dann [mm] x_1_B=-1 [/mm] und [mm] x_2_B=+1
[/mm]
Der 2.Wert ergab dann den Berührpunkt [mm] B_1(1 [/mm] , 1)
Der 1.Wert ergab den Berührpunkt der zweiten Tangente [mm] B_2(-1 [/mm] , 1)
Die Tangentengleichungen lauteten:
[mm] t_1(x)=2x-1 [/mm] und [mm] t_2(x)=-2x-1
[/mm]
Hier habe ich auch eine Frage: Liegt es auch hier an der Achsensymmetrie, dass der Berührpunkt [mm] B_1 [/mm] herauskommt ?
Nun zur Flächenberechnung:
Ich schrieb:
[mm] d(x)=t_1(x)-f(x) [/mm] als Intervallpunkte nahm ich 0 und [mm] x_B=1
[/mm]
[mm] d(x)=-x^2+2x-1 [/mm] und berechnete die Fläche wie folgt:
[mm] A=2*|\integral_{0}^{1}{d(x) dx}|
[/mm]
[mm] A=2|[-\bruch{x^3}{3}+x^2-x]^1_0 [/mm] = 2 * [mm] \bruch{1}{3}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Ist es so richtig oder hätte ich die Berechnungen mit der anderen Tangente zusätzlich durchführen müssen.
Schorsch
Ich habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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Hallo Schorsch!
Dein Ergebnis und der Weg sieht gut aus.
> Hier habe ich auch eine Frage: Liegt es auch hier an der
> Achsensymmetrie, dass der Berührpunkt [mm]B_1[/mm] herauskommt ?
Hier verstehe ich Deine Frage nicht ganz ...
Aus der Achsensymmetrie und dass der vorgegebene Punkt auf der Symmetrieachse der Parabel liegt, folgt die symmetrische Lage der beiden Berührpunkte.
> [mm]A=2|[-\bruch{x^3}{3}+x^2-x]^1_0[/mm] = 2 * [mm]\bruch{1}{3}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Ist es so richtig oder hätte ich die Berechnungen mit der
> anderen Tangente zusätzlich durchführen müssen.
Nein, alles okay, da ja die gesuchte Fläche achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Gruß vom
Roadrunner
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wenn f'(x)=2 und t'(x)=m*x gilt, weshalb setzt man zuerst m=2 und rechnet erst dann weiter mit [mm] f(x_B)=t(x_B) [/mm] in diesem Fall [mm] x^2=2x-1 [/mm] ?
wenn x einen negativen Wert hat, dann ist m*-x=-2 ! und [mm] f(x_B)=t(x_B) [/mm] mit [mm] x^2=-2x-1
[/mm]
Das war meine Frage Roadrunner !
mfg Schorsch
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Hallo Schachschorsch56,
> wenn f'(x)=2 und t'(x)=m*x gilt, weshalb setzt man zuerst
das ist doch gar nicht richtig!
[mm] $f(x)=x^2 \Rightarrow [/mm] f'(x)=2x$
$t(x)=mx-1 [mm] \Rightarrow [/mm] t'(x)=m$
Außerdem soll gelten: [mm] f(x_B)=t(x_B) [/mm] und [mm] f'(x_B)=t'(x_B)
[/mm]
mit diesem Gleichungssystem musst du rechnen!
> m=2 und rechnet erst dann weiter mit [mm]f(x_B)=t(x_B)[/mm] in
> diesem Fall [mm]x^2=2x-1[/mm] ?
>
> wenn x einen negativen Wert hat, dann ist m*-x=-2 ! und
> [mm]f(x_B)=t(x_B)[/mm] mit [mm]x^2=-2x-1[/mm]
>
> Das war meine Frage Roadrunner !
> mfg Schorsch
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Danke Informix,
wusste doch, dass da irgendwo ein Denkfehler drin war.
Ich rechne als zuerst [mm] x_B [/mm] und anschließend [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] aus:
Die Gleichungen [mm] f(x_B)=t(x_B) [/mm] und [mm] f'(x_B)=t'(x_B) [/mm] bedeuten nach Einsetzen:
[mm] x^2=m*x-1 [/mm] und 2x=m (Das n muss -1 sein, dies erhält man , wenn man den x-Wert des Punktes P (0 | -1) in t(x) einsetzt)
Da m=2x, folgt [mm] x_B^2=2x_B*x_B-1 [/mm] und [mm] x_B^2=1 [/mm] mit [mm] x_B_1=+1 [/mm] und [mm] x_B_2=-1.
[/mm]
Das mit der Flächenberechnung stimmt aber so : A=2 [mm] |\integral_{a}^{b}{d(x) dx}| [/mm] = [mm] 2|\integral_{0}^{1}{(x^2-2x+1) dx}=|\bruch{2}{3}|
[/mm]
Schorsch
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Hallo Schorsch,
> Danke Informix,
> wusste doch, dass da irgendwo ein Denkfehler drin war.
>
> Ich rechne als zuerst [mm]x_B[/mm] und anschließend [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm]
> aus:
>
> Die Gleichungen [mm]f(x_B)=t(x_B)[/mm] und [mm]f'(x_B)=t'(x_B)[/mm] bedeuten
> nach Einsetzen:
>
> [mm]x^2=m*x-1[/mm] und 2x=m (Das n muss -1 sein, dies erhält man ,
> wenn man den x-Wert des Punktes P (0 | -1) in t(x)
> einsetzt)
>
> Da m=2x, folgt [mm]x_B^2=2x_B*x_B-1[/mm] und [mm]x_B^2=1[/mm] mit [mm]x_B_1=+1[/mm]
> und [mm]x_B_2=-1.[/mm]
und [mm] m_1=2 [/mm] bzw. [mm] m_2=-2
[/mm]
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> Das mit der Flächenberechnung stimmt aber so :
> [mm]A=2*|\integral_{a}^{b}{(f(x)-t(x)) dx}|=2*|\integral_{0}^{1}{(x^2-2x+1) dx}=|\bruch{2}{3}|[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Schorsch
Gruß informix
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