P(X), char. Funktion bijektiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Mi 17.09.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Die Abbildung
[mm] $\mathbb{P}(\Omega)\to [/mm] R$
[mm] $A\mapsto \chi_A$
[/mm]
[mm] $\chi_A:=\begin{cases}{1, \text{falls} x\in A\\ 0, \text{falls} x\notin A}\end{cases}$
[/mm]
ist bijektiv. |
Hi,
ich würde gerne zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist.
Das die Funktion injektiv ist, habe ich wie folgt gezeigt:
Seien $A, [mm] B\subset \Omega$ [/mm] mit [mm] $A\neq [/mm] B$.
Da [mm] $A\neq [/mm] B$ existiert ohne Einschränkung der Allgemeinheit ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit [mm] $x\notin [/mm] B$. Damit ist [mm] $\chi_A\neq \chi_B$, [/mm] weil [mm] $\chi_A$ [/mm] sich an mindestens einer Stelle der 0-1-Folge von [mm] $\chi_B$ [/mm] unterscheidet.
Somit ist die Funktion injektiv.
Zur surjektivität habe ich das Problem wenn [mm] $\Omega$ [/mm] eine unendliche Menge ist, wie zum Beispiel die natürlichen Zahlen.
Wenn [mm] $|\Omega|=n$, [/mm] dann ist ja [mm] $\mathbb{P}(\Omega)=2^n$ [/mm] und auch die Menge der charakteristischen Funktionen sind [mm] $2^n$, [/mm] da sie ja eine 0-1-Folge der Länge n ist und es für jeden Eintrag zwei Möglichkeiten gibt. Entweder die 0 oder die 1. Aus kombinatorischen Gründen gibt es also dann auch [mm] $2^n$ [/mm] Möglichkeiten. Und da die Abbildung bereits injektiv ist, muss sie auch surjektiv sein. Insgesamt wäre sie also bijektiv.
Nun habe ich aber eben das Problem wenn ich eine unendliche Menge habe. Denn dann kann ich dies ja nicht so einfach begründen (ist das überhaupt richtig?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Do 18.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Die Abbildung
>
> [mm]\mathbb{P}(\Omega)\to R[/mm]
Hier sollte
[mm] $R=\{\chi_A:\;\; A \in \mathbb{P}(\Omega)\}$ ($=\{\chi_A:\;\; A \subseteqq \Omega\}$)
[/mm]
sein.
>
> [mm]A\mapsto \chi_A[/mm]
>
> [mm]\chi_A:=\begin{cases}{1, \text{falls} x\in A\\ 0, \text{falls} x\notin A}\end{cases}[/mm]
>
> ist bijektiv.
Eigentlich sollte man neben dem Definitionsbereich auch den Zielbereich von
[mm] $\chi_A$ [/mm] angeben. Der Definitionsbereich von allen diesen ist klar:
[mm] $\Omega\,.$
[/mm]
Bei dem Zielbereich kann man aber variieren: Man kann jede Menge [mm] $Z\,$
[/mm]
mit [mm] $\{0,1\} \subseteqq [/mm] Z$ nehmen. (Diese bleibt dann aber für alle $A [mm] \subseteqq \Omega$
[/mm]
die gleiche Menge). Ich sage jetzt einfach mal, dass alle
[mm] $\chi_A \colon \Omega \to \IR$
[/mm]
sein sollen!
Und für Deine obige Abbildung schreiben wir mal [mm] $g\,,$ [/mm] d.h. es ist
$g [mm] \colon \mathbb{P}(\Omega) \to [/mm] R$ mit [mm] $g(A):=\chi_A\,,$
[/mm]
anders geschrieben
$g [mm] \colon \mathbb{P}(\Omega) \ni [/mm] A [mm] \mapsto g(A):=\chi_A \in R\,.$
[/mm]
> Hi,
>
> ich würde gerne zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist.
Ohne eine konkrete Angabe von [mm] $R\,$ [/mm] geht das wohl nicht - wie willst Du
sonst die Surjektivität nachweisen?
> Das die Funktion injektiv ist, habe ich wie folgt
> gezeigt:
>
> Seien [mm]A, B\subset \Omega[/mm] mit [mm]A\neq B[/mm].
> Da [mm]A\neq B[/mm] existiert
> ohne Einschränkung der Allgemeinheit ein [mm]x\in A[/mm] mit
> [mm]x\notin B[/mm].
Das darfst Du so nicht sagen - bzw. Du solltest sagen, wie Du das meinst. Im
Falle $A [mm] \subsetneqq [/mm] B$ vertauschst Du nämlich dann die Rollen $A [mm] \longleftrightarrow B\,.$ [/mm] (In allen anderen Fällen
ist das von Dir Gesagte klar!)
> Damit ist [mm]\chi_A\neq \chi_B[/mm], weil [mm]\chi_A[/mm] sich an
> mindestens einer Stelle der 0-1-Folge von [mm]\chi_B[/mm]
> unterscheidet.
Wieso redest Du hier von einer 0-1-Folge? [mm] $\Omega$ [/mm] muss ja noch nicht mal
abzählbar sein...?!
Und zudem:
Na entweder Du bist genau, oder Du bist ungenau. Du nimmst halt o.E. $x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$
her und sagst [mm] $\chi_A(x) [/mm] =1 [mm] \not=0=\chi_B(x).$ [/mm] Mit "ungenau" meine ich hier eigentlich
auch was anderes: Man fragt sich, warum Du das $x [mm] \in [/mm] A$ mit $x [mm] \notin [/mm] B$ erwähnt, wenn
Du es nachher dann aber doch nicht konkret benutzt, sondern dann wieder
nur "von einem Element mit ..." sprichst.
> Somit ist die Funktion injektiv.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zur surjektivität habe ich das Problem wenn [mm]\Omega[/mm] eine
> unendliche Menge ist, wie zum Beispiel die natürlichen
> Zahlen.
> Wenn [mm]|\Omega|=n[/mm], dann ist ja [mm]\mathbb{P}(\Omega)=2^n[/mm] und
> auch die Menge der charakteristischen Funktionen sind [mm]2^n[/mm],
> da sie ja eine 0-1-Folge der Länge n ist und es für jeden
> Eintrag zwei Möglichkeiten gibt. Entweder die 0 oder die
> 1. Aus kombinatorischen Gründen gibt es also dann auch [mm]2^n[/mm]
> Möglichkeiten. Und da die Abbildung bereits injektiv ist,
> muss sie auch surjektiv sein. Insgesamt wäre sie also
> bijektiv.
>
> Nun habe ich aber eben das Problem wenn ich eine unendliche
> Menge habe. Denn dann kann ich dies ja nicht so einfach
> begründen (ist das überhaupt richtig?)
Ich verstehe das Problem nicht, jedenfalls nicht, wenn [mm] $R\,$ [/mm] so definiert ist, wie
ich es oben ergänzt habe:
Sei $f [mm] \in R\,.$ [/mm] Dann existiert ein $A [mm] \in \mathbb{P}(\Omega)$ [/mm] (d.h. $A [mm] \subseteq \Omega$) [/mm] mit
[mm] $f=\chi_A\,,$
[/mm]
also insbesondere
[mm] $f=\chi_A \colon \Omega \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\chi_A(x)=1$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] A$ und [mm] $f(x)=\chi_A(x)=0$ [/mm] für $x [mm] \in \Omega \setminus A\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist nun: Es gibt eine Menge $M [mm] \in \mathbb{P}(\Omega)$ [/mm] (also $M [mm] \subseteq \Omega$) [/mm] mit
[mm] $g(M)=f\,.$
[/mm]
Wie wäre denn die Wahl von [mm] $M:=A\,$ [/mm] für Dich?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:06 Do 18.09.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Vielleicht wolltest Du auch
[mm] $R=\{0,1\}^\Omega=\{f \colon \Omega \to \{0,1\}\}$
[/mm]
haben. Aber auch dann wird die Surjektivität nicht schwerer:
Ist für dieses [mm] $R\,$ [/mm] dann $f [mm] \in R\,,$ [/mm] so sei $A [mm] \subseteqq \Omega$ [/mm] definiert durch:
[mm] $A:=\{\underbrace{x \in \Omega}_{\text{hieraus folgt }A \subseteqq \Omega}:\;\; f(x)=1\}\,.$
[/mm]
Klar ist:
$f(x)=1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x [mm] \in A\,.$
[/mm]
Was folgt daraus sofort?
$f(x)=...$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x [mm] \in \Omega \setminus [/mm] ...$
Um jetzt [mm] $f=\chi_A$ [/mm] einzusehen, dann geht es aber nicht anders, als so, wie
es bei Wikipedia steht, auch den Zielbereich von den Funktionen [mm] $\chi_A$ [/mm] als
[mm] $\{0,1\}$ [/mm] zu betrachten...
Gruß,
Marcel
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