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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 09.03.2005 | | Autor: | g.jonas |
Hallo!
Wir haben für eine Klausur eine Übungsaufgabe bekommen, bei der ich Probleme habe.
Sie lautet:
Bestimme eine ganz-rationale Funktion 5. Grades in Normalform mit folgenden Eigenschaften.
f hat in x=-2 eine doppelte Nullstelle und verläuft durch den Punkt P(1/1).
Mein Lösungsansatz:
Wenn x=-2 Nullstelle, dann (x+2)².
Damit habe ich den ersten Teil.
NUR wie kann ich "außdrücken, dass P(1/1) [mm] \in [/mm] von f ist?
Bitte um ANtwort mit Hilfestellungen/Erklärungen, Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jonas!
Ich glaube nicht, dass die Aufgabenstellung so lautete, wie du sie angegeben hast, und zwar deshalb, weil die Funktion durch die gegebenen Daten nicht eindeutig bestimmt ist. Folgendes:
Deine Funktion hat die Form [mm] $f(x)=(x+2)^2\cdot [/mm] g(x)$. Wegen [mm] $f(1)=3^2\cdot [/mm] g(1)=1$ folgt daraus [mm] $g(1)=\frac{1}{9}$. [/mm] Da $g$ Polynom dritten Grades sein muss, lässt es sich als [mm] $a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot [/mm] x+d$ darstellen, was wegen [mm] $g(1)=\frac{1}{9}$ [/mm] zu [mm] $a+b+c+d=\frac{1}{9}$ [/mm] führt. Offensichtlich erfüllen alle so zusammengesetzten Funktionen $f$ die geforderten Bedingungen.
Beispiel:
(a)
[mm] $a=b=c=d=\frac{1}{36}$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow f(x)=\frac{1}{36}\cdot (x+2)^2 \cdot (x^3+x^2+x^2+1)$
[/mm]
(b)
$c=d=0$,
[mm] $a=b=\frac{1}{18}$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow f(x)=\frac{1}{18}\cdot (x+2)^2\cdot (x^3+x^2)$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 09.03.2005 | | Autor: | g.jonas |
Danke schon einmal für deine Antwort.
Wie kann man denn Allgemein ausdrücken, das ein Punkt Element einer gleichung 3. oder 4. Grades ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jonas!
> Wie kann man denn Allgemein ausdrücken, das ein Punkt Element einer gleichung 3. oder 4. Grades ist??
Schon die Frage ist nicht korrekt gestellt, ich werde aber versuchen, dir eine befriedigende Antwort zu geben:
Ein Punkt kann kein Element einer Gleichung sein, denn eine Gleichung ist keine Menge. Du kannst allerdings die Lösungemenge einer Gleichung bzw. eines Gleichungssystemes in Form einer Menge angeben. Dann kann man durchaus vom Element der Lösungsmenge eines Gleichungssystemes sprechen.
Am Sinnvollsten ist es meiner Meinung nach allerdings, bei der Frage, ob ein Punkt bzw. seine X- und Y-Koordinaten eine gegebene Gleichung $y=f(x)$ erfüllen, mit dem Begriff des Graphen zu argumentieren. Der Graph (ich spreche hier speziell vom Graph einer Funktion einer Unbekannten) einer Funktion $f$ ist die eine Teilmenge der Menge aller Punkte [mm] $S:=(x,y)\in\IR^2$. [/mm] Der Graph [mm] $G_f$ [/mm] von $f$ ist nun die Menge aller Paare $(x,f(x)), [mm] x\in \IR$. [/mm] Willst du ausdrücken, dass [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] auf dem Graphen von $f$ liegt, so schreibst du [mm] $(x_0,y_0)\in G_f$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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