PDGL - Potenzreihenansatz < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösen Sie die Gleichung Ux+Uy=0 zu den Cauchydaten u(x,0)=x mithilfe eines allgemeinen Potenzreihenansatzes. Begründen Sie warum die Lösung eindeutig ist. |
Hallo,
da ich leider keine unterlagen zu einem potzenreihenansatz für eine pdgl im internet finde wollte ich fragen ob mir jemand sagen kann wie hier genau der ansatz ist oder besser gesagt welche potenzreihe man einsetzen und differenzieren muss.
Danke für eure hilfe!!
lg
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> Lösen Sie die Gleichung Ux+Uy=0 zu den Cauchydaten
> u(x,0)=x mithilfe eines allgemeinen Potenzreihenansatzes.
> Begründen Sie warum die Lösung eindeutig ist.
> Hallo,
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> da ich leider keine unterlagen zu einem potzenreihenansatz
> für eine pdgl im internet finde wollte ich fragen ob mir
> jemand sagen kann wie hier genau der ansatz ist oder besser
> gesagt welche potenzreihe man einsetzen und differenzieren
> muss.
>
> Danke für eure hilfe!!
>
> lg
Guten Tag,
ich denke, du solltest wenigstens angeben, aus welchem
Umfeld die Aufgabe stammt, und insbesondere, was mit dem
U gemeint ist.
Falls eine Funktion u(x,y) der zwei Variablen x und y gesucht
ist, sollte der Potenzreihenansatz dafür als Summanden alle
möglichen Ausdrücke der Form
[mm] a_{k,j}*x^k*y^j
[/mm]
mit [mm] k,j\in\IN_0 [/mm] enthalten.
LG
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Entschuldigung habe ich vergessen: U: R²->R und damit hängt u von x und y ab (u(x,y)).
Die Aufgabe stammt aus einer VO zu PDGL aber da ich diese nur aus interesse besuche und nicht immer in die VO gehen kann gibt es leider leichte defizite.
Danke für die schnelle antwort!!!
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> Entschuldigung habe ich vergessen: U: R²->R und damit
> hängt u von x und y ab (u(x,y)).
Ahaaa - und dann sollen Ux und Uy wohl partielle
Ableitungen sein, die man besser mit [mm] U_x [/mm] und [mm] U_y [/mm] oder
noch besser mit [mm] $\frac{\partial}{\partial x}\ [/mm] U(x,y)$ und [mm] $\frac{\partial}{\partial y}\ [/mm] U(x,y)$ bezeichnen würde.
Ferner wäre es doch wohl sinnvoll, die Funktion entweder
mit U oder mit u zu bezeichnen und nicht zwischen Groß-
und Kleinschreibung abzuwechseln.
> Die Aufgabe stammt aus einer VO zu PDGL
du scheinst ein Abkü-Fan zu sein ...
Nun kannst du also ansetzen:
$U(x,y)\ =\ [mm] a_{0,0}+a_{1,0}*x+a_{0,1}*y+a_{2,0}*x^2+a_{1,1}*x*y+a_{0,2}*y^2+a_{3,0}*x^3+\ [/mm] .....$
LG Al-Chw.
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das heißt ich setze [mm] u(x,y)=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} a_{k,j}\cdot{}x^k\cdot{}y^j [/mm] .
[mm] Ux=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} k*a_{k,j}\cdot{}x^{k-1}\cdot{}y^j [/mm]
[mm] Uy=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} j*a_{k,j}\cdot{}x^{k}\cdot{}y^{j-1}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] Ux+Uy=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} k*a_{k,j}\cdot{}x^{k-1}\cdot{}y^j +\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} j*a_{k,j}\cdot{}x^{k}\cdot{}y^{j-1}
[/mm]
[mm] \summe_{k}^{}\summe_{j}^{} \cdot{}x^k\cdot{}y^j *[(k+1)*a_{k+1,j}+(j+1)a_{k,j+1}]=0
[/mm]
Daraus erhalte ich ja aber keine rekursionsfomel?! Also ich glaube da steckt irgendwo noch ein denkfehler oder?
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> das heißt ich setze
> [mm]u(x,y)=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} a_{k,j}\cdot{}x^k\cdot{}y^j[/mm]
> .
> [mm]Ux=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} k*a_{k,j}\cdot{}x^{k-1}\cdot{}y^j[/mm]
> [mm]Uy=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} j*a_{k,j}\cdot{}x^{k}\cdot{}y^{j-1}[/mm]
>
> Daraus folgt:
> [mm]Ux+Uy=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} k*a_{k,j}\cdot{}x^{k-1}\cdot{}y^j +\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} j*a_{k,j}\cdot{}x^{k}\cdot{}y^{j-1}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k}^{}\summe_{j}^{} \cdot{}x^k\cdot{}y^j *[(k+1)*a_{k+1,j}+(j+1)a_{k,j+1}]=0[/mm]
>
> Daraus erhalte ich ja aber keine rekursionsfomel?! Also ich
> glaube da steckt irgendwo noch ein denkfehler oder?
Hallo,
ich habe jetzt gar nicht alles bis ins Detail durchgecheckt.
Du solltest aber vorsichtig sein beim Laufbereich der
Indices. Laufen die jetzt immer noch von 0 an - oder
muss man vielleicht ein erstes Glied aus der Reihe
heraus nehmen ?
Wenn das dann alles richtig notiert ist, sollten doch
alle Koeffizienten der Reihe (die ja 0 ergeben soll)
verschwinden. Daraus kann man dann wohl die
[mm] a_{k,j} [/mm] rekursiv berechnen. Natürlich ist dabei noch
die Anfangsbedingung zu verwenden.
(Übrigens habe ich mir die Lösung schon durch ein
geometrisches Bild veranschaulicht - das gab nichts
zu rechnen ...)
LG Al-Chw.
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dazu habe ich jetzt doch noch ein paar grundsätzliche fragen:
[mm] Ux=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} k\cdot{}a_{k,j}\cdot{}x^{k-1}\cdot{}y^j
[/mm]
wenn ich diese ableitung bilde kommt ja x^-1 vor. das sollte ja nicht der fall sein. das kann ich aber lösen in dem ich die summe von 1 weglaufen lasse weil ja k=0 dazu führt, dass dieser term sowieso verschwindet.
das geht auch für Uy.
wenn ich das ganze nun so einsetze und dann die indices wieder verschiebe. steht doch eigentlich das da was ich heraus bekommen habe.
und mit dem anfangswert hab ich ein kleines problem. wenn ich u(x,0) in die potenzreihe einsetze dann erhalte ich doch u(x,0)=0. wie kann hier jemals x heraus kommen?! außer [mm] 0^0=1 [/mm] und somit wäre [mm] a_{k,0}=x. [/mm] ?!
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> dazu habe ich jetzt doch noch ein paar grundsätzliche
> fragen:
> [mm]Ux=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty} k\cdot{}a_{k,j}\cdot{}x^{k-1}\cdot{}y^j[/mm]
>
> wenn ich diese ableitung bilde kommt ja x^-1 vor. das
> sollte ja nicht der fall sein. das kann ich aber lösen in
> dem ich die summe von 1 weglaufen lasse weil ja k=0 dazu
> führt, dass dieser term sowieso verschwindet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das geht auch für Uy.
(schreib doch nun bitte den Ableitungsindex tiefgestellt: [mm] U_y [/mm] )
> wenn ich das ganze nun so einsetze und dann die indices
> wieder verschiebe. steht doch eigentlich das da was ich
> heraus bekommen habe. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ich hab's jetzt auch noch durchgesehen: korrekt
> und mit dem anfangswert hab ich ein kleines problem. wenn
> ich u(x,0) in die potenzreihe einsetze dann erhalte ich
> doch u(x,0)=0. wie kann hier jemals x heraus kommen?!
> außer [mm]0^0=1[/mm] und somit wäre [mm]a_{k,0}=x.[/mm] ?!
Betrachte einfach das Summenglied [mm] a_{1,0}*x^1*y^0 [/mm] !
LG Al-Ch.
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ok stimmt:
das heißt jetzt mein anfangswert ergibt, dass [mm] a_{1,0}=1, [/mm] da ja alle anderen terme durch y=0 0 sind und nur [mm] 0^0 [/mm] einen wert ergibt!
die rekursionsformel ergibt sich dann aus:
[mm] (k+1)\cdot{}a_{k+1,j}+(j+1)a_{k,j+1}=0
[/mm]
[mm] a_{k,j+1}=-\bruch{k+1}{j+1}\cdot{}a_{k+1,j}
[/mm]
und
[mm] a_{k+1,j}=--\bruch{j+1}{k+1}\cdot{}a_{k,j+1}
[/mm]
und wie gesagt [mm] a_{1,0}=1
[/mm]
daraus folgt nun, dass [mm] a_{0,1}=-1
[/mm]
das problem ist jetzt wenn ich weiter einsetze komme ich nicht auch [mm] a_{1,1}, a_{2,1} [/mm] etc. sondern zb:
[mm] a_{2,-1}=0 [/mm] oder [mm] a_{-1,2}=0 [/mm]
irgendwie geht die rekursion in die falsche richtung und ich erhalte koeffiezienten, die ich ja gar nicht benötige?!
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weiß leider nicht wie ich meine frage editieren kann aber bin jetzt vielleicht selber drauf gekommen.
aus u(x,0)=0 folgt:
[mm] U(x,0)=a_{0,0}*x^{0}*0^{0}+a_{1,0}*x^{1}*0^{0}+a_{0,1}*x^{0}*0^{1}+a_{1,1}*x^{1}*0^{1}+a_{2,0}*x^{0}*0^{0}+.......=x
[/mm]
da alle terme [mm] 0^{r\not=0}=0 [/mm] sind fallen die heraus und interessant sind die terme mit [mm] 0^{0}=1. [/mm] daraus folgt [mm] a_{0,0}=0, a_{1,0}=1 [/mm] und für alle weiteren [mm] a_{n,0}=0 \forall [/mm] n>1 sein müssen.
damit kann ich aus der rekursion die anderen therme berechnen! ist das so richtig?
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> weiß leider nicht wie ich meine frage editieren kann aber
> bin jetzt vielleicht selber drauf gekommen.
>
> aus u(x,0)=0 folgt:
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> [mm]U(x,0)=a_{0,0}*x^{0}*0^{0}+a_{1,0}*x^{1}*0^{0}+a_{0,1}*x^{0}*0^{1}+a_{1,1}*x^{1}*0^{1}+a_{2,0}*x^{0}*0^{0}+.......=x[/mm]
>
> da alle terme [mm]0^{r\not=0}=0[/mm] sind fallen die heraus und
> interessant sind die terme mit [mm]0^{0}=1.[/mm] daraus folgt
> [mm]a_{0,0}=0, a_{1,0}=1[/mm] und für alle weiteren [mm]a_{n,0}=0 \forall[/mm]
> n>1 sein müssen.
>
> damit kann ich aus der rekursion die anderen therme
richtig ist die Schreibweise "Terme" (ohne "h")
> berechnen! ist das so richtig?
Ich denke, dass du da richtig liegst, wäre aber froh, wenn
da noch jemand anderes drüber schaut.
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dann sag ich mal danke für deine schnelle hilfe!!
ich denke auch, dass es jetzt passt, da ich es auch von anfang bis ende recht logisch finde.
DANKE!
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Hallo mathematik_graz,
> ok stimmt:
> das heißt jetzt mein anfangswert ergibt, dass [mm]a_{1,0}=1,[/mm]
> da ja alle anderen terme durch y=0 0 sind und nur [mm]0^0[/mm] einen
> wert ergibt!
> die rekursionsformel ergibt sich dann aus:
> [mm](k+1)\cdot{}a_{k+1,j}+(j+1)a_{k,j+1}=0[/mm]
>
> [mm]a_{k,j+1}=-\bruch{k+1}{j+1}\cdot{}a_{k+1,j}[/mm]
>
> und
>
> [mm]a_{k+1,j}=--\bruch{j+1}{k+1}\cdot{}a_{k,j+1}[/mm]
>
> und wie gesagt [mm]a_{1,0}=1[/mm]
>
> daraus folgt nun, dass [mm]a_{0,1}=-1[/mm]
>
> das problem ist jetzt wenn ich weiter einsetze komme ich
> nicht auch [mm]a_{1,1}, a_{2,1}[/mm] etc. sondern zb:
> [mm]a_{2,-1}=0[/mm] oder [mm]a_{-1,2}=0[/mm]
> irgendwie geht die rekursion in die falsche richtung und
> ich erhalte koeffiezienten, die ich ja gar nicht
> benötige?!
Bedenke, daß die erhaltene Rekursionsformel
für Indizes k, j [mm] \ge 0[/mm] gilt.
Die Vorgehensweise in dieser Mitteilung ist korrekt.
Gruss
MathePower
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