PDE-Überprüfung nicht richtig < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 09.05.2011 | | Autor: | JohnK |
| Aufgabe | Es sei [mm] \phi(x):\IR->\IR [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion. Löse folgendes Anfangswertproblem:
[mm] -y*u_{x}+x*u_{y}=u [/mm] , x>0, [mm] y\ge0
[/mm]
[mm] u(x,0)=\phi(x) [/mm] |
Hallo,
ich bin neu hier und ich habe ein kleines Problem. Ich denke, dass ich die Aufgabe eigentlich schon soweit gelöst habe aber am Ende bei der Probe komme ich einfach nicht auf ein richtiges Ergebnis
Zuerst bin habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
[mm] \bruch{dx}{-y}=\bruch{dy}{x} [/mm] und [mm] \bruch{dy}{x}=\bruch{du}{u}
[/mm]
Das sind ja dann soweit ich das Verstanden habe Charakteristiken.
dann habe ich die gelöst und bekomme:
[mm] C_{1}=f(-\bruch{1}{2}(x^{2}+y^{2})) [/mm] und [mm] u(x,y)=e^{C_{2}+\bruch{y}{x}}
[/mm]
habe dann für [mm] C_{2} C_{1} [/mm] eingesetzt und damit meine fertige Funktion ohne Anfangsbedingung
[mm] u(x,y)=e^{f(-\bruch{1}{2}(x^{2}+y^{2}))+\bruch{y}{x}}
[/mm]
wenn ich das jetzt aber überprüfe bekomme ich [zur Abkürzung jetzt immer f für [mm] f(-\bruch{1}{2}(x^{2}+y^{2})) [/mm] ]:
[mm] u_{x}=e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*x-\bruch{y}{x^{2}}) [/mm] , [mm] u_{y}=e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*y+\bruch{1}{x})
[/mm]
und in die Gleichung eingesetzt:
[mm] -y*e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*x-\bruch{y}{x^{2}})+x*e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*y+\bruch{1}{x})=e^{f+\bruch{y}{x}}(1-\bruch{y^{2}}{x^{2}})
[/mm]
Das ist ja schon fast richtig nur der letzte Faktor... ich glaube irgendwo ist ein kleiner Fehler, wäre super super cool wenn mir jemand da helfen könnte. Die Anfangsbedingung kann ich ja dann am Ende noch draufhauen
Viele Grüße
John
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JohnK,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei [mm]\phi(x):\IR->\IR[/mm] eine stetig differenzierbare
> Funktion. Löse folgendes Anfangswertproblem:
>
> [mm]-y*u_{x}+x*u_{y}=u[/mm] , x>0, [mm]y\ge0[/mm]
> [mm]u(x,0)=\phi(x)[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin neu hier und ich habe ein kleines Problem. Ich
> denke, dass ich die Aufgabe eigentlich schon soweit gelöst
> habe aber am Ende bei der Probe komme ich einfach nicht auf
> ein richtiges Ergebnis
>
> Zuerst bin habe ich folgende Beziehungen aufgestellt:
>
> [mm]\bruch{dx}{-y}=\bruch{dy}{x}[/mm] und
> [mm]\bruch{dy}{x}=\bruch{du}{u}[/mm]
>
>
> Das sind ja dann soweit ich das Verstanden habe
> Charakteristiken.
>
> dann habe ich die gelöst und bekomme:
>
> [mm]C_{1}=f(-\bruch{1}{2}(x^{2}+y^{2}))[/mm] und
> [mm]u(x,y)=e^{C_{2}+\bruch{y}{x}}[/mm]
>
> habe dann für [mm]C_{2} C_{1}[/mm] eingesetzt und damit meine
> fertige Funktion ohne Anfangsbedingung
>
> [mm]u(x,y)=e^{f(-\bruch{1}{2}(x^{2}+y^{2}))+\bruch{y}{x}}[/mm]
>
> wenn ich das jetzt aber überprüfe bekomme ich [zur
> Abkürzung jetzt immer f für [mm]f(-\bruch{1}{2}(x^{2}+y^{2}))[/mm]
> ]:
>
> [mm]u_{x}=e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*x-\bruch{y}{x^{2}})[/mm] ,
> [mm]u_{y}=e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*y+\bruch{1}{x})[/mm]
>
> und in die Gleichung eingesetzt:
>
> [mm]-y*e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*x-\bruch{y}{x^{2}})+x*e^{f+\bruch{y}{x}}(f'*y+\bruch{1}{x})=e^{f+\bruch{y}{x}}(1-\bruch{y^{2}}{x^{2}})[/mm]
Mit dieser ![[]](/images/popup.gif) Methode sind Lösungen der obigen partiellen DGL:
[mm]g\left( \ x^{2}+y^{2}, \ \ln\left(u\right)+\arctan\left(\bruch{x}{y}\right) \ \right)=0[/mm]
>
> Das ist ja schon fast richtig nur der letzte Faktor... ich
> glaube irgendwo ist ein kleiner Fehler, wäre super super
> cool wenn mir jemand da helfen könnte. Die
> Anfangsbedingung kann ich ja dann am Ende noch draufhauen
>
> Viele Grüße
> John
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 10.05.2011 | | Autor: | JohnK |
Hi MathePower,
vielen Dank für deine Antwort, ich habe nach dieser Methode gearbeitet. Kann ich das nicht so machen, bzw. was genau ist der Unterschied? Die Probleme sehen dem Meinigen sehr ähnlich. Wäre dir für eine kurze Antwort dazu sehr dankbar.
Gruß
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Hallo JohnK,
> Hi MathePower,
>
> vielen Dank für deine Antwort, ich habe nach dieser
> Methode
> gearbeitet. Kann ich das nicht so machen, bzw. was genau
> ist der Unterschied? Die Probleme sehen dem Meinigen sehr
> ähnlich. Wäre dir für eine kurze Antwort dazu sehr
> dankbar.
Mit Deiner Methode kommt man letztlich auf
[mm]u\left(x,y\right)=f\left(x^{2}+y^{2}\right)*e^{y/x}[/mm]
Welches nicht die gegebene partielle DGL löst.
Korrekt ist die Lösung: [mm]u\left(x,y\right)=f\left(x^{2}+y^{2}\right)*e^{\operatorname{arctan}\left(y/x\right)}[/mm]
Bei Deiner Methode ist die Frage, wie kommt man auf den arctan.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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