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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 So 25.01.2009 | | Autor: | Kyrill |
Hi,
ich bins es nochmal ich habe noch eine (bis jetzt ;)) 2. Stelle gefunden wo ich mir nicht ganz sicher bin.
Und zwar geht es um die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{\pi}{sin(\pi x)}.
[/mm]
Wir müssen beweisen, dass folgendes gilt:
[mm] \bruch{\pi}{sin(\pi x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}+2x\* \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{i}\*\bruch{1}{x²-i²}
[/mm]
Dazu benutzt man folgende Beziehung:
[mm] \bruch{z}{sinz}=z\*cot(\bruch{z}{2})-z\*cot(z)
[/mm]
Die Potenzreihe vom cot ist bereits hergeleitet und bekannt und heißt: [mm] \pi\*cot(\pi [/mm] x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{x²-i²}
[/mm]
Eingesetzt in die Formel [mm] \bruch{z}{sinz}=z\*cot(\bruch{z}{2})-z\*cot(z) [/mm] macht das insgesamt (bereits ein wenig umgeformt und vereinfacht):
[mm] \bruch{\pi x}{sin(\pi x)} [/mm] = [mm] 2\*(1+2x²\* \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{x²-(2i)²})-(1+2x²\* \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{x²-i²})
[/mm]
Also hat man sozusagen alle geraden Teile doppelt und zieht von diesen alle Teile einmal ab.
Um von dieser Stelle aber zu der gewünschten Form von oben zu kommen muss man ja jetzt eine Umordnung vornehmen, also einmal gerader Exponent mit positiven Vorzeichen, dann ungerader Exponent mit negativen Vorzeichen, usw....
Umordnen darf man ja aber nur wenn die Reihen absolut konvergieren.
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß warum die Reihen absolut konvergieren. Ich denke es hat etwas mit der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n²} [/mm] zu tun. Da diese ja absolut konvergiert.
Die beiden Reihen die ich betrachte sind ja dieser schon sehr ähnlich.
Aber wie kann ich das jetzt vernünftig den Zusammenhang erklären oder gibt es eine einfachere Variante?
Ich bin für alle Vorschläge offen ;)
Schonmal vielen danke für eure Hilfe!
Kyrill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Kyrill |
Hi,
danke für die Antwort.
Die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=n}^{\infty}\bruch{1}{n^{a}} [/mm] für a>1 zu zeigen ist gar nicht mein Problem. Das kann man ja etwar mit dem Cauchychen Verdichtungssatz zeigen.
Mein Problem ist nur dieses x in der Reihe, das ist ja eine Variable. Kann man dann einfach sagen, dass das x eine beliebige aber endliche Zahl ist und somit eigentlich keinen Einfluss nimmt?
Ich stehe da leider ein wenig auf dem Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mo 26.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kyrill!
> Hi,
>
> danke für die Antwort.
>
> Die Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{i=n}^{\infty}\bruch{1}{n^{a}}[/mm] für a>1 zu zeigen ist
> gar nicht mein Problem. Das kann man ja etwar mit dem
> Cauchychen Verdichtungssatz zeigen.
>
> Mein Problem ist nur dieses x in der Reihe, das ist ja eine
> Variable. Kann man dann einfach sagen, dass das x eine
> beliebige aber endliche Zahl ist und somit eigentlich
> keinen Einfluss nimmt?
Das ist schon die richtige Überlegung, aber du musst sauber formulieren. Du will zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{|i^2-x^2|} [/mm]
konvergiert, denn dann konvergieren alle Reihen, um die es in deiner Rechnung geht, absolut und können beliebig umgeordnet werden.
(Übrigens hast du in deiner Rechnung ein paar Faktoren [mm] $\pi$ [/mm] vergessen, denn die Cotangens-Reihe konvergiert nicht für [mm] $x=\pm k/\pi$, $k\in\IN$.)
[/mm]
Für festes x verhält sich diese Reihe so ähnlich wie
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{|i^2|} [/mm],
aber ein direkter Vergleich geht nicht, weil
[mm] \bruch{1}{|i^2-x^2|} \ge \bruch{1}{|i^2|} [/mm]
für alle i ist.
Aber es reicht ja zu zeigen, dass [mm]\summe_{i=n}^{\infty}\bruch{1}{n^{a}}[/mm] für ein $a>1$ eine konvergente Majorante ist, also dass für jedes x ein N existiert, sodass
[mm] \bruch{1}{|i^2-x^2|} \le \bruch{1}{|i^a|} [/mm] für $i>N$.
Denn dann hast du für jedes x gezeigt, dass die Reihe absolut konvergiert.
Viele Grüße
Rainer
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