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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Do 21.06.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Partialbruchzerlegung von zB Funktionen wie [mm] \pi*\cot( \pi*z)
[/mm]
Es soll gelten
[mm] \pi [/mm] *cot( [mm] \pi*z)=\frac{1}{z}+\summe_{n\in \IZ, n\not=0}(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{n})
[/mm]
Wie man das zeigt, ist mir im groben bis auf eine kleine Stelle klar.
Wenn man die Hauptteile [mm] h_n [/mm] bestimmt und man die Summe darüber betrachtet, also [mm] \summe_{n\in \IZ}\frac{1}{z-n}, [/mm] sieht man ja, dass diese nicht konvergiert. Man muss dann zu dieser etwas hinzufügen, s.d. man das ganze kompakt konvergent bekommt und nutzt, dass sich [mm] h_n [/mm] für [mm] n\not=0 [/mm] lokal um den Nullpunkt in eine Taylorreihe entwickeln lässt.
Und hier meine Frage: wie sieht man bzw. woher weiss man, welcher Grad das Taylorpolynom haben muss?
Für das Beispiel hier reicht [mm] h_n(0)=\frac{-1}{n} [/mm]
aber das sehe ich jetzt nur daran, da ich schon weiss, was rauskommen muss und nach einer kleinen Umformung, wenn man [mm] h_n(z)-h_n(0) [/mm] betrachtet, dass es konvergiert. Aber ich kann ja nicht immer bei anderen Beispielen das Taylorpolynom vom Grad 1, Grad 2 etc. ausrechnen und alles prüfen, bis es passt (wie beim rumraten).
Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:26 Fr 22.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Antwort auf Deine Frage findest Du im Beweis des Satzes von Mittag-Leffler.
FRED
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