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| Aufgabe | Man bestimme den Kern(F) durch die Angabe einer Basis des Vektorraumes.
F: V [mm] \to [/mm] W [mm] V=P_{2} [/mm] W= [mm] \IR_{3}
[/mm]
[mm] F_{3}(a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}t [/mm] + [mm] a_{2}t^{2} [/mm] ) = [mm] \vektor {a_{0} - a_{1} \\ a_{1} - a_{2}\\ a_{2} - a_{0} } [/mm] |
Hallo,
ich wollte wissen wie ich die Basis des Kerns bei dieser Frage korrekt angebe.
mein Ergebnis ist [mm] a_{0}=a_{1}=a_{2}=a [/mm] für den Kern
Stimmt es dann also wenn ich folgendes schreibe:
[mm] Kern(F_{3}) [/mm] = { [mm] \vektor{ a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} } \in \IR_{3} [/mm] | [mm] a_{0}=a_{1}=a_{2} [/mm] }
Mit Monombasis für [mm] P_{2} [/mm] B= { [mm] 1,t,t^{2} [/mm] } und Kern(F(v) = { [mm] \vektor{ a \\ a \\ a } [/mm] | a [mm] \in \IR [/mm] } ergibt sich die Basis des Kerns mit
{ [mm] a\* t^{2} [/mm] + [mm] a\*t [/mm] + a | a [mm] \in \IR [/mm] }
mfg tom
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> Man bestimme den Kern(F) durch die Angabe einer Basis des
> Vektorraumes.
> F: V [mm]\to[/mm] W [mm]V=P_{2}[/mm] W= [mm]\IR_{3}[/mm]
>
> [mm]F_{3}(a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}t[/mm] + [mm]a_{2}t^{2}[/mm] ) = [mm]\vektor {a_{0} - a_{1} \\ a_{1} - a_{2}\\ a_{2} - a_{0} }[/mm]
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> Hallo,
>
> ich wollte wissen wie ich die Basis des Kerns bei dieser
> Frage korrekt angebe.
Hallo,
gerechnet hast Du alles richtig, ich sage Dir jetzt, wie Du es aufschreiben kannst:
sei [mm] a_{0}+[/mm] [mm]a_{1}t[/mm] + [mm]a_{2}t^{2}[/mm][mm] \in [/mm] KernF
==> [mm] f(a_{0} [/mm] + [mm]a_{1}t[/mm] + [mm]a_{2}t^{2}[/mm][mm] )=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
[mm] ==>\vektor {a_{0} - a_{1} \\ a_{1} - a_{2}\\ a_{2} - a_{0} }=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
==> [mm] a_0=a_1=a_2
[/mm]
Also sind alle Polynome der Gestalt [mm] p=a_0+a_0*x+ a_0x^2= a_0(1+x+x^2) (a_0\in \IR) [/mm] im Kern.
Also wird der Kern aufgespannt vom Polynom [mm] 1+x+x^2, [/mm] welches damit eine Basis des Kerns ist.
> mein Ergebnis ist [mm]a_{0}=a_{1}=a_{2}=a[/mm] für den Kern
>
> Stimmt es dann also wenn ich folgendes schreibe:
> [mm]Kern(F_{3})[/mm] =\ { [mm] \vektor{ a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} } \in \IR_{3} [/mm] | [mm] a_{0}=a_{1}=a_{2}\}
[/mm]
Wenn Ihr bereits Koordniatenvektoren eineführt habt und b die Basis [mm] (1,x,x^2) [/mm] ist, könntest Du auch schreiben [mm]Kern(F_{3})[/mm] = [mm] \{\vektor{ a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} }_{(B)} \in \IR_{3} | a_{0}=a_{1}=a_{2} }.
[/mm]
Ich würde zunächst aber die wenig verwirrende Variante von oben bevorzugen.
> Mit Monombasis für [mm]P_{2}[/mm] [mm] B=(1,t,t^2)und [/mm] Kern(F(v) =
> [mm] \{ \vektor{ a \\ a \\ a }| a in \IR \} [/mm] ergibt sich die
> Basis des Kerns mit
> \ { [mm] a\* t^{2} [/mm] + [mm] a\*t+ [/mm] a | a [mm] \in \IR\}
[/mm]
Nein, das ist der Kern, und [mm] (1+t+t^2) [/mm] ist die Basis.
Gruß v. Angela
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