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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Seien [mm] Z_n, Y_n [/mm] : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] Zufallsvariablen für n [mm] \in \IN_0 [/mm] mit
[mm] Z_n->Z_0 [/mm] , [mm] Y_n->Y_0 [/mm] jeweils P-stochastisch.
(a) Zeigen Sie: [mm] Z_nY_n [/mm] -> [mm] Z_0Y_0 [/mm] P-stochastisch.
(b) Sei [mm] Z_0 \equiv [/mm] c > 0 konstant.
Zeigen Sie: [mm] Y_n [/mm] * [mm] \bruch{1}{Z_n} [/mm] 1 [mm] _{_{\{Z_n>0\}}} [/mm] -> [mm] Y_0* \bruch{1}{c} [/mm] P-stochastisch. |
Hallo,
verstehe ich das richtig das ich bei a) zeigen soll das Z und Y unabhängig sind?
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Erstens: Wo hast du da ein X?
Zweitens: Nein. Du hast zwei Folgen von Zufallsvariablen, die jeweils konvergieren. Jetzt sollst du zeigen, dass auch das Produkt der jeweiligen Folgenglieder gegen das Produkt der Grenz-Zufallsvariablen konvergiert.
Bei der b) solltest du überlegen, wie [mm]1_{Z_n>0}[/mm] aussieht, wenn [mm]Z_0 = c > 0[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Hallo generation...x,
habe das X korregiert.
Also allgemein kenne ich als Definition:
Die Folge [mm] Z_n [/mm] konvergiert P-stochastisch gegen [mm] X_0 [/mm] falls
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(d(Z_n,Z_0)>\epsilon) [/mm] = 0 für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0.
Aber damit komme ich nicht weiter. Was überseh ich?
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Also erstmal ist d hier vermutlich der Betrag. Und dann musst du einfach mal einsetzen. Gesucht wird
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_n Y_n - Z_0 Y_0| > \epsilon)[/mm]
Gegeben sind
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_n - Z_0 | > \epsilon) = 0[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_n - Y_0 | > \epsilon) = 0[/mm]
Jetzt brauchst du noch eine gescheite Abschätzung...
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Schön jetzt ist klar was man bei a) machen soll die Frage ist nur wie...
Ziel:
Zeigen Sie: $ [mm] Z_nY_n [/mm] $ -> $ [mm] Z_0Y_0 [/mm] $ P-stochastisch.
Die Folge $ [mm] Z_n Y_n$ [/mm] konvergiert P-stochastisch gegen $ [mm] Z_0Y_0 [/mm] $ falls
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_n Y_n - Z_0 Y_0| > \epsilon)[/mm] ,für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0.
Gegeben
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(d(Z_n,Z_0)>\epsilon) [/mm] $ =0 ,für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0.
<=>[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_n - Z_0 | > \epsilon) = 0[/mm]
und
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_n - Y_0 | > \epsilon) = 0[/mm],für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0.
<=>[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_n - Z_0 | > \epsilon) = 0[/mm]
Bin nicht im klaren aber könnte es so funktionieren?:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_n [/mm] - [mm] Y_0 [/mm] | > [mm] \epsilon)*\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_n [/mm] - [mm] Z_0 [/mm] | > [mm] \epsilon) [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_n [/mm] - [mm] Y_0 [/mm] | > [mm] \epsilon)* P(|Z_n [/mm] - [mm] Z_0 [/mm] | > [mm] \epsilon) [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_n [/mm] - [mm] Y_0 [/mm] | *| [mm] Z_n [/mm] - [mm] Z_0 [/mm] | > [mm] \epsilon)
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_nZ_n [/mm] - [mm] Y_0Z_0 [/mm] | > [mm] \epsilon)
[/mm]
Demnach ist $ [mm] Z_nY_n [/mm] $ -> $ [mm] Z_0Y_0 [/mm] $ P-stochastisch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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