P-fast sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich habe gerade in der Vorlesung die Konvergenzbegriffe P-fast sicher und P-stochastisch kennengelernt und scheitere dabei prompt an einer Aufgabe. Ich stelle sie einfach mal vor und sage dann was ich nicht verstehe.
Sei [mm] (X_n)_{n\in\Mathbb{N}} [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\Mathcal{A},P). [/mm] Zu zeigen ist dann, dass aus
[mm] P(\{\omega\in\Omega : lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = \infty\}) [/mm] = 1
folgt, dass für jedes c > 0 gilt, dass [mm] P(X_n\ge [/mm] c) → 0 für [mm] n\to\infty. [/mm] |
Sooo... meiner Meinung nach handelt es sich bei dem zu zeigenden doch um stochastische Konvergenz. Aber dabei hört es auch schon auf, da ich die Aufgabe an sich nicht verstehe. Meine Vorgabe ist doch schon fast sichere Konvergenz dafür, dass die Folge der Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen Unendlich geht. Dann ist es doch klar, dass die Wahrscheinlichkeit für den Verbleib der Zufallsvariablen unterhalb einer Schranke 0 sein muss. Oder verstehe ich hier was falsch? Was soll ich also zeigen? Und vor allem wie???
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.gute-mathe-fragen.de/64002/p-fast-sichere-konvergenz-und-p-stochastische-konvergenz
Allerdings konnte mir da noch niemand helfen.
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Entschuldigung, es muss natürlich heißen
[mm] P(X_n\le c)\to [/mm] 0
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Fry |
Huhu,
also es gilt: [mm]A=\left\{\lim_{n\to\infty} X_n=\infty\right\}=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} \{X_n>k\}[/mm]. Dieses Ereignis hat die Wkeit 1.
Entsprechend gilt für das Gegenereignis mit den Morganschen Regeln
[mm]P(A^c)=P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} \{X_n\le k\}\right)=P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{m=1}^{\infty} \{\inf_{n\ge m} X_n\le k\}\right)=0[/mm]
Entsprechend folgt, dass [mm]P\left(\bigcap_{m=1}^{\infty} \{\inf_{n\ge m} X_n\le k\}\right)=0[/mm] für alle [mm]k\in\mathbb N[/mm]
Mit der Stetigkeit von oben ergibt sich
[mm]\lim_{m\to\infty} P\left( \inf_{n\ge m} X_n\le k\right)=0[/mm] für alle [mm]k\in\mathbb N[/mm].
Da [mm]P(X_m\le k)\le P\left( \inf_{n\ge m} X_n\le k\right)[/mm], folgt dann die Behauptung für [mm]k\in\mathbb N[/mm].
Entsprechend folgt die Behauptung für [mm]c>0[/mm].
LG
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Fry |
Habs nochmal ein bisschen korrigiert. Hoffe jetzt stimmts so mit dem Infimum (?)
LG
Christian
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Hey danke. Hast du super erklärt und ich habs soweit verstanden. Allerdings ist mir eine Sache nicht ganz klar. Wie ist
[mm] A=\left\{\lim_{n\to\infty} X_n=\infty\right\}=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} \{X_n>k\}
[/mm]
zu lesen? Wir hatten es genauso in der Vorlesung, aber diese Folge von Schnitten und Vereinigungen verwirrt mich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey,
also ich weiß nicht, obs so richtig ist, aber für festes [mm]\omega\in\Omega[/mm] gilt:
[mm]\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)=\infty[/mm][mm]\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)=\infty \gdw \forall k\in\mathbb N \exists m\in\mathbb N \forall n\ge m: X_n(\omega) >k[/mm]
Dies übersetzt du dann einfach mengentheoretisch, indem du "für alle" durch den Schnitt("und"="alle Ereignisse treten ein")und "es existiert mindestens" durch die Vereinigung ("oder"="Mindestens ein Ereignis tritt ein") ersetzt.
Anderes Beispiel:
[mm]\forall n\in\mathbb N: X_n\le k \gdw \sup_{n\in \mathbb N}X_n\le k
Also: \bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{X_n\le k\right\}=\left\{\sup_{n\in \mathbb N}X_n\le k\right\}[/mm]
LG
Christian
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Ok, cool. Danke. Ich hab die Idee verstanden und diese Verknüpfung von Schnitten und Mengen muss ich wohl einfach so hinnehmen. Danke nochmals!!!
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