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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 28.11.2004 | | Autor: | monja |
Erstmals hallo an alle....
Ich muss 2. Aufgaben bearbeiten aber weiß nicht wie ich anfagen soll....
Die erste Aufgabe Lautet: Beweise mit Hilfe der Quotientenregel
[mm] (a/v(x))`=-(a*v`(x))/(v(x))^2
[/mm]
naja ich verstehe nicht einmal was diese formel hier ist....wegen dem a und v komme ich irgendwie durcheinander...weil vor dem a kein (x) steht und so....
Ja und die zweite Aufgabe lautet:
Beweise mit Hilfe der quotientenregel, dass eine Konstande [mm] a\not=0
[/mm]
im Nenner bei der Differentiation erhalten bleibt....
Kann mir da mal jemand sagen was eine Konstante ist und ...ich versteh irgendwie nicht wirklich was die von mir wollen..lol...
ich weis auch hier nicht wie ich anfangen soll....
lg monja
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Hallo Monja!
> Die erste Aufgabe Lautet: Beweise mit Hilfe der
> Quotientenregel
>
> [mm](a/v(x))'=-(a*v'(x))/(v(x))^2
[/mm]
>
> naja ich verstehe nicht einmal was diese formel hier
> ist....wegen dem a und v komme ich irgendwie
> durcheinander...weil vor dem a kein (x) steht und so....
Also, deine Aufgabe ist eigentlich schon fast trivial... 
Das v(x) bedeutet, dass du eine Funktion hast, die von x abhängt. So, wie du meistens mit Funktionen rechnest, die f(x)=... heißen. Hier heißt sie nur einfach v(x). Und bei dem a steht deswegen kein x, weil das a nicht von x abhängt, a ist nämlich eine Konstante. Das heißt, egal, was du für x einsetzt, dein a bleibt gleich. Wenn du zum Beispiel die Funktion [mm] f(x)=x^2+1 [/mm] hast, dann ändert sich der Teil [mm] x^2 [/mm] in der Regel, wenn du ein anderes x einsetzt, aber die 1 bleibt immer gleich, weil die 1 nicht von x abhängt und somit eine Konstante ist. Wenn du dann eine konstante Funktion f(x)=1 nimmst, ist sie überall =1, egal, was du für das x einsetzt. Beim Zeichnen erhältst du eine Gerade, die parallel zur x-Achse ist.
So, und was bringt dir diese Konstante nun? Du hast sicher schon bemerkt, dass du, wenn du ableitest, die Konstanten einfach "weglässt". Wenn du zum Beispiel [mm] f(x)=x^2+1 [/mm] ableitest, erhältst du f'(x)=2x, von der 1 ist nichts mehr zu sehen. Und wenn du g(x)=1 ableitest, erhältst du g'(x)=0 (du könntest ja bei f(x) auch rechnen: [mm] f'(x)=(x^2)'+1'=2x, [/mm] also muss 1'=0 sein.
Jedenfalls kannst du dir merken, dass Konstanten beim Ableiten einfach wegfallen.
Nun zurück zu deiner Aufgabe:
[mm] (\bruch{a}{v(x)})' [/mm] solltst du "berechnen"
nach der Quotientenregel ist das:
[mm] \bruch{a'*v(x)-a*v'(x)}{(v(x))^2}
[/mm]
da, wie eben beschrieben, Konstanten beim Ableiten einfach wegfallen, ist a'=0 und somit der erste "Summand" = 0. Du erhältst also:
[mm] \bruch{-a*v'(x)}{(v(x))^2}, [/mm] was du zeigen solltest.
> Ja und die zweite Aufgabe lautet:
> Beweise mit Hilfe der quotientenregel, dass eine Konstande
> [mm]a\not=0
[/mm]
> im Nenner bei der Differentiation erhalten bleibt....
>
> Kann mir da mal jemand sagen was eine Konstante ist und
> ...ich versteh irgendwie nicht wirklich was die von mir
> wollen..lol...
> ich weis auch hier nicht wie ich anfangen soll....
Also, was eine Konstante ist, habe ich dir ja jetzt ausführlich erklärt (oder hast du immer noch ne Frage?), und für diese Aufgabe gebe ich dir mal nur den Ansatz, dann probierst du erstmal selbst, es ist nicht schwierig!
Ich nehme an, dass du Folgendes zeigen sollst:
Du hast gegeben: [mm] \bruch{u(x)}{a*v(x))} [/mm] und solltst das ableiten, wobei am Ende herauskommen soll, dass das a immer noch im Nenner steht. Wende hierauf doch einfach mal stur nach Formel die Quotientenregel an, dann erhältst du zuerst eine Summe von zwei Produkten, wobei das eine direkt wegfällt, weil wieder eine Konstante abgeleitet wird, somit erhältst du nur noch einen Summand, dieser besteht aus einer Konstanten, die du dann einfach beibehalten kannst, und einem Bruch, der noch nach der Quotientenregel abgeleitet werden muss.
So, zeig doch mal deine Ergebnisse, dann gucke ich es mir an.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Noch ne kleine Ergänzung zu dem, was Bastiane geschrieben hat:
"Additive Konstanten fallen beim Ableiten weg, multiplikative Konstanten bleiben erhalten."
Was das heißen soll: wenn bei ner Funktion noch ein [mm]+c[/mm] , c eine konstante Zahl, dabeisteht, dann fällt das [mm]+c[/mm] beim Ableiten genau so weg, wie Bastiane es geschrieben hat.
Aber wenn eine Konstante nicht mit [mm]+c[/mm], sondern mit [mm]*c[/mm] dasteht?
Ein Beispiel: [mm]f(x)=2*x^3[/mm]
Der Faktor 2 übernimmt hier den Part der "multiplikativen Konstante", beim Ableiten bleibt sie einfach als Faktor erhalten:
[mm]f'(x)=2*3*x^2=6*x^2[/mm].
Ich weiß, das macht man "einfach automatisch", aber es ist schon wichtig zu erkennen, ob ne Konstante als Vorfaktor einer Funktion da ist, oder "einfach nur als Summand mit dranhängt".
Ich hoffe, der Unterschied ist klar geworden...
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