Ortsline d. Wendestellen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f (x) = [mm] \bruch{ax^2-1}{x^2-a}. [/mm] Gesucht ist die Orstlinie der Wendestellen. |
Hallo,
Habe mir heute, da es bei den letzten HA's nicht sogut funktioniert hat, eine Übungsaufgabe gesucht, anhand der ich das mit der Ortslinie Üben kann. Leider habe ich keine Lösung, mit der ich mein Ergebnis vergleichen kann, also bleibt nur noch eine Chance.
Matheraum.de ;)
Naja, zuerst habe ich die ersten beiden Ableitungen der Funktion gebildet.
f' (x) = [mm] \bruch{-2a^2x+2x}{(x^2-a)^2}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a}{(x^2-a)^3}
[/mm]
Um nun Wendestellen zu finden muss ich ja die 2. Ableitung = 0 (also den Zähler, da Nenner uninteressant, weil er nicht 0 werden darf) setzen.
Dies mache ich mal hier ausführlich, da ich dort häufig Fehler habe. Aber mal sehen, vielleicht hat's ja Funktioniert.
[mm] 6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a [/mm] = 0 | +2a
[mm] 6a^2x^2-6x^2+2a^3 [/mm] = 2a | : [mm] 6a^2
[/mm]
[mm] -5x^2+2a^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3a} [/mm] | [mm] -2a^3
[/mm]
[mm] -5x^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3a} -2a^3 [/mm] | (-5)
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{a^2}{3} |\wurzel{}
[/mm]
x = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm]
Also müsste es (wenn die 3. Ableitung bei dem Wert ungleich 0 wird, was ich jetzt nicht überprüfe) an der Stelle x = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm] Wendestellen geben.
f [mm] (\bruch{a}{\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \bruch{a*(\bruch{a^2}{3})-1}{\bruch{a^2}{3}-a}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{a^3}{3}-1}{\bruch{a^2}{3}-a}
[/mm]
= [mm] (\bruch{a^3}{3}-1) [/mm] * [mm] (\bruch{3}{a^2}-\bruch{1}{a}) [/mm]
Kann man das überhaupt machen? Habe jetzt einfach die beiden Brüche Dividiert, dies macht man ja indem man mit dem Kehrwert Malnimmt. Ist das denn hier so richtig?
Dann ergibt sich als y-Wert für die Wendestelle :
y = a - [mm] \bruch{a^2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{3}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
Diesen y- Wert brauche ich um die Ortslinie zu Ermitteln. Wenn ich jetzt nämlich x = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm] nach a auflöse erhalte ich :
a = x * [mm] \wurzel{3} [/mm] ; Setze ich dies nun für a in y ein erhalte ich :
y = -2x + [mm] \wurzel{3}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}x
[/mm]
Das müsste dan die Orstlinie für die Wendestellen/Punkte sein.
Wäre lieb wenn mit jemand sagen könnte ob ich's richtig habe, oder ob irgendwo Fehler sind.
Dankeschön.
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kristof,
> Gegeben ist die Funktion f (x) = [mm]\bruch{ax^2-1}{x^2-a}.[/mm]
> Gesucht ist die Orstlinie der Wendestellen.
> Hallo,
> Habe mir heute, da es bei den letzten HA's nicht sogut
> funktioniert hat, eine Übungsaufgabe gesucht, anhand der
> ich das mit der Ortslinie Üben kann. Leider habe ich keine
> Lösung, mit der ich mein Ergebnis vergleichen kann, also
> bleibt nur noch eine Chance.
> Matheraum.de ;)
>
> Naja, zuerst habe ich die ersten beiden Ableitungen der
> Funktion gebildet.
>
> f' (x) = [mm]\bruch{-2a^2x+2x}{(x^2-a)^2}[/mm]
> f''(x) = [mm]\bruch{6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a}{(x^2-a)^3}[/mm]
>
> Um nun Wendestellen zu finden muss ich ja die 2. Ableitung
> = 0 (also den Zähler, da Nenner uninteressant, weil er
> nicht 0 werden darf) setzen.
Es ist richtig, dass du nur den Zähler gleich 0 setzen musst, aber du musst schon prüfen, ob die Lösung auch im Definitionsbereich der Funktion liegt.
>
> Dies mache ich mal hier ausführlich, da ich dort häufig
> Fehler habe. Aber mal sehen, vielleicht hat's ja
> Funktioniert.
>
> [mm]6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a[/mm] = 0 | +2a
> [mm]6a^2x^2-6x^2+2a^3[/mm] = 2a | : [mm]6a^2[/mm]
Hier läuft was schief. Du müsstest jeden Summanden duch $ [mm] 6a^2 [/mm] $ dividieren. Ich schreibe unten einen Ansatz für die Lösung.
> [mm]-5x^2+2a^3[/mm] = [mm]\bruch{1}{3a}[/mm] | [mm]-2a^3[/mm]
> [mm]-5x^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{3a} -2a^3[/mm]
> | (-5)
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{a^2}{3}
|\wurzel{}[/mm]
Wie hast du hier gerechnet?
>
> x =
> [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm]
[mm]6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a[/mm] = 0
Jetzt klammerst du aus:
$ 6 [mm] x^2 (a^2-1) [/mm] + [mm] 2a(a^2-1) [/mm] = 0 $
Nochmal ausklammern:
$ (6 [mm] x^2 [/mm] + 2a) [mm] (a^2-1) [/mm] = 0 $
Kommst du jetzt weiter?
>
> Also müsste es (wenn die 3. Ableitung bei dem Wert ungleich
> 0 wird, was ich jetzt nicht überprüfe) an der Stelle x =
> [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm] Wendestellen geben.
>
> f [mm](\bruch{a}{\wurzel{3}})[/mm] =
> [mm]\bruch{a*(\bruch{a^2}{3})-1}{\bruch{a^2}{3}-a}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\bruch{a^3}{3}-1}{\bruch{a^2}{3}-a}[/mm]
> = [mm](\bruch{a^3}{3}-1)[/mm] * [mm](\bruch{3}{a^2}-\bruch{1}{a})[/mm]
>
> Kann man das überhaupt machen? Habe jetzt einfach die
> beiden Brüche Dividiert, dies macht man ja indem man mit
> dem Kehrwert Malnimmt. Ist das denn hier so richtig?
>
> Dann ergibt sich als y-Wert für die Wendestelle :
> y = a - [mm]\bruch{a^2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{3}{a^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
>
> Diesen y- Wert brauche ich um die Ortslinie zu Ermitteln.
> Wenn ich jetzt nämlich x = [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm] nach a
> auflöse erhalte ich :
>
> a = x * [mm]\wurzel{3}[/mm] ; Setze ich dies nun für a in y ein
> erhalte ich :
>
> y = -2x + [mm]\wurzel{3}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}x[/mm]
>
> Das müsste dan die Orstlinie für die Wendestellen/Punkte
> sein.
Das Verfahren ist richtig. Die Rechnung habe ich jetzt nicht mehr überprüft, da die obige Rechnung Fehler enthält.
> Wäre lieb wenn mit jemand sagen könnte ob ich's richtig
> habe, oder ob irgendwo Fehler sind.
Gruß
Sigrid
>
> Dankeschön.
> Kristof
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Kristof |
> Wie hast du hier gerechnet?
>
> >
> > x =
> > [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a[/mm] = 0
>
> Jetzt klammerst du aus:
>
> [mm]6 x^2 (a^2-1) + 2a(a^2-1) = 0[/mm]
>
> Nochmal ausklammern:
>
> [mm](6 x^2 + 2a) (a^2-1) = 0[/mm]
>
> Kommst du jetzt weiter?
>
>
Nein, irgendwie nicht.
Habe immer so Probleme mit dem Ausklammern.
Wie muss ich denn da weiterrechnen?
Dankeschön...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kristof,
>
> > Wie hast du hier gerechnet?
> >
> > >
> > > x =
> > > [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm]
> >
> > [mm]6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a[/mm] = 0
> >
> > Jetzt klammerst du aus:
> >
> > [mm]6 x^2 (a^2-1) + 2a(a^2-1) = 0[/mm]
> >
> > Nochmal ausklammern:
> >
> > [mm](6 x^2 + 2a) (a^2-1) = 0[/mm]
> >
> > Kommst du jetzt weiter?
> >
> >
> Nein, irgendwie nicht.
> Habe immer so Probleme mit dem Ausklammern.
> Wie muss ich denn da weiterrechnen?
[mm](6 x^2 + 2a) (a^2-1) = 0[/mm]
$ [mm] \gdw 6x^2 [/mm] + 2a = 0 [mm] \vee a^2-1 [/mm] = 0 $
Fall 1: $ [mm] a^2 [/mm] - 1 [mm] \not= [/mm] 0
$ 6 [mm] x^2 [/mm] + 2a = 0 $
$ [mm] x^2 [/mm] = -\ [mm] \bruch{a}{3} [/mm] $
$ x = [mm] \wurzel{-\ \bruch{a}{3}} [/mm] $
Eine Lösung existiert nur für a<0, d.h. nur für a<0 können Wendepunkte existieren.
Den Fall $ [mm] a^2 [/mm] - 1 = 0 [mm] \gdw [/mm] a = 1 [mm] \vee [/mm] a = -1 $
sieh dir mal selber an. Wie sehen die Funktionen aus, wenn du a=1 oder a=-1 setzt.
Gruß
Sigrid
>
> Dankeschön...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 16.11.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
>
> >
> > > Wie hast du hier gerechnet?
> > >
> > > >
> > > > x =
> > > > [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm]
> > >
> > > [mm]6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a[/mm] = 0
> > >
> > > Jetzt klammerst du aus:
> > >
> > > [mm]6 x^2 (a^2-1) + 2a(a^2-1) = 0[/mm]
> > >
> > > Nochmal ausklammern:
> > >
> > > [mm](6 x^2 + 2a) (a^2-1) = 0[/mm]
> > >
> > > Kommst du jetzt weiter?
> > >
> > >
> > Nein, irgendwie nicht.
> > Habe immer so Probleme mit dem Ausklammern.
> > Wie muss ich denn da weiterrechnen?
>
> [mm](6 x^2 + 2a) (a^2-1) = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw 6x^2 + 2a = 0 \vee a^2-1 = 0[/mm]
>
> Fall 1: $ [mm]a^2[/mm] - 1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> [mm]6 x^2 + 2a = 0[/mm]
>
> [mm]x^2 = -\ \bruch{a}{3}[/mm]
>
> [mm]x = \wurzel{-\ \bruch{a}{3}}[/mm]
>
> Eine Lösung existiert nur für a<0, d.h. nur für a<0 können
> Wendepunkte existieren.
>
Gut,
Nach einem langen Schultag habe ich mich nochmal drangesetzt um diese Aufgabe auch zu beenden. Ich hoffe es ist mir erfolgreich gelungen ;)
Zuerst einmal habe ich die Extremstelle [mm] x_E [/mm] = x = [mm] \wurzel{-\ \bruch{a}{3}} [/mm] nach a hin aufgelöst.
Hoffe das habe ich richtig gemacht. Habe es wie folgt gemacht :
x = [mm] \wurzel{-\ \bruch{a}{3}} [/mm] | ^2
[mm] x^2 [/mm] = [mm] -\bruch{a}{3} [/mm] | *3
[mm] 3x^2 [/mm] = -a |*(-1)
a = [mm] -3x^2 [/mm]
Ist das so richtig?
Habe das a dann in die Ausgangfunktion f (x) für a eingesetzt um nun die Ortslinie der Wendestellen/Punkte rauszufinden.
f (x) = [mm] \bruch{ax^2-1}{x^2-a}
[/mm]
= [mm] \bruch{-3x^2*x^2-1}{x^2+3x^2}
[/mm]
Nun dividiere ich die beiden Brüche indem ich mit dem Kehrwert Malnehme :
[mm] (-\bruch{3x^4}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1})*(\bruch{1}{4x^2})
[/mm]
= [mm] \bruch{3x^4}{4x^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4x^2}
[/mm]
Nach Kürzen müsste sich für die Ortslinie folgendes Ergeben :
y = [mm] \bruch{3x^2}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4x^2}
[/mm]
Wäre das so richtig?
Dankeschön.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kristof,
> >
>
> Gut,
> Nach einem langen Schultag habe ich mich nochmal
> drangesetzt um diese Aufgabe auch zu beenden. Ich hoffe es
> ist mir erfolgreich gelungen ;)
>
> Zuerst einmal habe ich die Extremstelle [mm]x_E[/mm] = x =
> [mm]\wurzel{-\ \bruch{a}{3}}[/mm] nach a hin aufgelöst.
>
> Hoffe das habe ich richtig gemacht. Habe es wie folgt
> gemacht :
>
> x = [mm]\wurzel{-\ \bruch{a}{3}}[/mm] | ^2
> [mm]x^2[/mm] = [mm]-\bruch{a}{3}[/mm] | *3
> [mm]3x^2[/mm] = -a |*(-1)
> a = [mm]-3x^2[/mm]
>
> Ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Habe das a dann in die Ausgangfunktion f (x) für a
> eingesetzt um nun die Ortslinie der Wendestellen/Punkte
> rauszufinden.
>
> f (x) = [mm]\bruch{ax^2-1}{x^2-a}[/mm]
> = [mm]\bruch{-3x^2*x^2-1}{x^2+3x^2}[/mm]
>
> Nun dividiere ich die beiden Brüche indem ich mit dem
> Kehrwert Malnehme :
Du hast [mm] \bruch{1}{4x^2})[/mm] ausgeklammert.
>
> [mm](-\bruch{3x^4}{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1})*(\bruch{1}{4x^2})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3x^4}{4x^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4x^2}[/mm]
Hier ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen:
[mm] = -\ \bruch{3x^4}{4x^2} - \bruch{1}{4x^2}[/mm]
>
> Nach Kürzen müsste sich für die Ortslinie folgendes Ergeben
> :
>
> y = [mm]\bruch{3x^2}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4x^2}[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Bis aufs Vorzeichen ja.
Gruß
Sigrid
>
> Dankeschön.
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