Ortskurve und Rotation < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
| Aufgabe | y = ln $ [mm] (x^{2}+t) [/mm] $
a) Ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte
b) Das zwischen den gezeichneten Kurven eingeschlossene Flächenstück erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Drehkörper. Dieser werde durch zur y-Achse senkrechte Ebene y=c geschnitten. Für welchen Wert von c ist das möglich? Beschreiben Sie die Gestalt der Schnittfläche in Abhängigkeit von c. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Schnittfläche.
d) Für welche Werte von c ist dieser Flächeninhalt maximal? |
Frage in keinem anderen Forum gestellt...
Also ich bin nun bei b)
Ich habe für y´´(x) = 0
x = [mm] \pm\wurzel{t}
[/mm]
das muss ich ja nun einsetzten in die ausgangsgleichung irgendwie komme ich da mit den Wurzeln nicht weiter...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn x = [mm] \pm \wurzel{t}, [/mm] so ist [mm] x^2 [/mm] = t, also y = ln(2t) = ln(2) +ln(t)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
Okay danke dir, ist ja auch eigentlich logisch...
bei c) Also Werte müssen auf jedenfall größer als der Tiefpunkt von t= 1/2 sein...also -0,70
Dann entstehen drei verschiedene Gestalten, einmla nur ein Punkt (genau auf dem Tiefpunkt)
Dann ein Kreis (1. Kurve)
und ein Kreisring (beide Kurven)
Mit der Fläche bin ich mir jetzt unsicher....
Ist das mit [mm] \pi [/mm] ? und was lege ich für Grenzen fest?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Teil der aufgabe fehlt.
Was sind denn die gezeichneten Kurven?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
Hier noch die Kurven... [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
vllt. kann mir jetzt jemand helfen? also mit der nachgelieferten Zeichnung...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Do 05.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tj09!
Ich denke, du musst eine Fallunterscheidung für "Kreis" bzw. "Kreisring" machen.
Bestimme dann jeweils die Schnittstellen der Funktion(en) mit der genannten Geraden und ermittle die Flächen der Kreis(ring)e über diese Formeln:
[mm] $$\text{Kreis} [/mm] \ : \ A \ = \ [mm] \pi*r^2$$
[/mm]
[mm] $$\text{Kreisring} [/mm] \ : \ A \ = \ [mm] \pi*\left(r_2^2-r_1^2\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
Jep, das waren nun auch meine Gedanken...
Und das ganze jetzt in Abhängigkeit von c?
und r ist ja der radius, also von 0-x ...irgendwie fehlt mir da nun der passende Ansatz...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Do 05.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tj09!
Leider verrätst Du uns ja nicht die beiden konkreten Funktionsvorschriften. Aber auf jeden Fall musst du nun mit Gleichsetzen beginnen, um die entsprechenden Radien zu ermitteln:
$$f(x) \ = \ [mm] \ln\left(x^2 \ + \ ... \ \right) [/mm] \ = \ c$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
ach, sorry...hab gedacht ich hätte es dazu geschrieben..
t= 1/2 und t= 2
also in dem Fall nutze ich dann ja t= 1/2 ...das ist der untere Graph...
Also habe ich dann...
f(x) \ = \ [mm] \ln\left(x^2 \ + \ 1/2\ \right) [/mm] \ = \ c
ist dann [mm] x^2 [/mm] + 1/2 = [mm] e^{c} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Do 05.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tj09!
> f(x) \ = \ [mm]\ln\left(x^2 \ + \ 1/2\ \right)[/mm] \ = \ c
> ist dann [mm]x^2[/mm] + 1/2 = [mm]e^{c}[/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun also noch [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] und die Wurzel ziehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
$ [mm] x^2 [/mm] $ + 1/2 = $ [mm] e^{c} [/mm] $
also [mm] x^2 [/mm] = [mm] e^{c} [/mm] - 1/2
x = [mm] \wurzel{ e^{c} - 1/2 } [/mm] ?
Und das x ist jetzt mein r?
Also A = [mm] \pi [/mm] * [mm] e^{c} [/mm] - 1/2 ?
Und das x muss ich jetzt auch noch für t = 2 ausrechnen...
Also x = [mm] \wurzel{ e^{c} - 2 } [/mm]
Und das dann auch noch in die zweite Gleichung einsetzten? Dann habe ich beide Flächen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du hast ja die 2 Schnittpunkte [mm] x1=\wurzel{e^c-0.5} [/mm] und
[mm] x2=\wurzel{e^c-2} [/mm] also x2<x1 solange die Wurzel existiert also was positives drunter steht. Wenn nur x1 existiert hast du einen Kreis mit Radius x1, wenn x1 und x2 exist musst du die 2 Kreise mit Radius x1 und x2 subtrahieren.
also untersuch erst fuer welche c es ueberhaupt nen Schnitt gibt. dann fuer welche einen, dann fuer welche 2
und dann hast du alles.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 05.03.2009 | | Autor: | tj09 |
Also setzte ich für den Kreis
x1 = y (x) ?
und suche das passende c
Wenn ich das habe, setzte ich es in mein r? und das wiederrum in die Flächenformel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du nur einen Kreis hast dannrechnest du seine Flaeche einfach mit [mm] A=x1^2*\pi=(e^c-0.5)*\pi [/mm] falls [mm] (e^c-0.5)>0
[/mm]
Die Rueckfrage versteh ich jetzt nicht. Du suchst kein c, c stellst du dir gegeben vor.
nur fUer c<... gibts keine Flaeche. fuer alle anderen rechnest du sie einfach aus
Gruss leduart
|
|
|
|
