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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 22.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Zeichnen Sie die Ortskurve:
[mm] $\underline{Z}(t) [/mm] = [mm] 2*cos^2(t) [/mm] + j *sin(2t) $ [mm] $(0\le [/mm] t < [mm] \bruch{\pi}{2})$ [/mm] |
also irgendwie kann ich die trigonometrischen Funktionen nicht darstellen da diese sich überladen :-(
Re(Z) = [mm] 2*cos^{2}(t)= [/mm] 2*cos(t) * cos(t)
Im(z) = sin(2t) = 2*cos(t)* sin(t) ???
dann hätte man :
[mm] $\underline{Z}(t)= [/mm] 2*cos(t) * cos(t) + j ( 2*cos(t)* sin(t) ) = 2cos(t) ( cos(t) + j*sin(t))$
ist dann mein radius : $r = 2cos(t)$ und bei $t=0 => r=2$ das wäre der erste punkt auf der Re-Achse , aber weiter komm ich garnicht.
wie sollte man weiter vorgehen ?
mfg
masa
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> Zeichnen Sie die Ortskurve:
> [mm]\underline{Z}(t) = 2*cos^2(t) + j *sin(2t)[/mm]
> [mm](0\le t < \bruch{\pi}{2})[/mm]
> also irgendwie kann ich die
> trigonometrischen Funktionen nicht darstellen da diese sich
> überladen :-(
>
> Re(Z) = [mm]2*cos^{2}(t)=[/mm] 2*cos(t) * cos(t)
>
> Im(z) = sin(2t) = 2*cos(t)* sin(t) ???
>
> dann hätte man :
>
> [mm]\underline{Z}(t)= 2*cos(t) * cos(t) + j ( 2*cos(t)* sin(t) ) = 2cos(t) ( cos(t) + j*sin(t))[/mm]
Das sieht doch schon recht hübsch aus.
>
> ist dann mein radius : [mm]r = 2cos(t)[/mm] und bei [mm]t=0 => r=2[/mm] das
> wäre der erste punkt auf der Re-Achse , aber weiter komm
> ich garnicht.
Ist es gar so schwierig, weitere Punkte für grössere $t$-Werte zwischen $0$ und [mm] $\pi/2$ [/mm] einzuzeichnen?
> wie sollte man weiter vorgehen ?
Eben: noch einige weitere Punkte einzeichnen, mit einer Linie verbinden ... und sich dann fragen, ob es sich nicht vielleicht um einen Halbkreis mit Mittelpunkt [mm] $z_0=1$ [/mm] und Radius $r=1$ handelt. In der Tat ist ja
[mm]z(t)-1=(2\cos^2(t)-1\big)+j\sin(2t)=\cos(2t)+j\sin(2t)[/mm]
d.h. es ist $|z(t)-1|=1$, für alle $t$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 22.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
Hallo Somebody 
ja hab vergessen das man Img und reel teile an sich betrachten muss.
habe diese 3 punkte gerechnet für $t=0 => 2$ $ t= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] => 0$ $ t= [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] => 1+j$
aber deine formel verstehe ich nicht ganz:
$ [mm] z(t)-1=(2\cos^2(t)-1\big)+j\sin(2t)=\cos(2t)+j\sin(2t) [/mm] $
$1 = [mm] \sin^2(t) [/mm] + [mm] \cos^2(t)$
[/mm]
[mm] $\blue{-1 = - \sin^2(t) - \cos^2(t)}$
[/mm]
dann hätte man im realteil :
[mm] $2\cos^2(t) \blue{- \sin^2(t) - \cos^2(t)} [/mm] = - [mm] \sin^2(t) [/mm] + [mm] \cos^2(t) [/mm] = -1$
1.
wie kommst du hier auf [mm] $\cos(2t)$ [/mm]
2.
und warum eigentlich -1 ?
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> Hallo Somebody
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> ja hab vergessen das man Img und reel teile an sich
> betrachten muss.
>
> habe diese 3 punkte gerechnet für [mm]t=0 => 2[/mm] [mm]t= \bruch{\pi}{2} => 0[/mm]
> [mm]t= \bruch{\pi}{4} => 1+j[/mm]
>
> aber deine formel verstehe ich nicht ganz:
>
> [mm]z(t)-1=(2\cos^2(t)-1\big)+j\sin(2t)=\cos(2t)+j\sin(2t)[/mm]
> 1.
> wie kommst du hier auf [mm]\cos(2t)[/mm]
Du hast ja auch [mm] $\sin(2t)$ [/mm] zu [mm] $2\sin(t)\cos(t)$ [/mm] umgeformt. Genauso gilt: [mm] $\cos(2t)=cos^2(t)-\sin^2(t)=2\cos^2(t)-1$.
[/mm]
> 2.
> und warum eigentlich -1 ?
Wie ich geschrieben hatte: trägt man einige Punkte der fraglichen Kurve in der [mm] $\IC$-Ebene [/mm] ein, so kommt man auf die Vermutung (und es ist zunächst eine blosse Vermutung), dass es sich um einen Halbkreis mit Mittelpunkt [mm] $z_0=1$ [/mm] und Radius $r=1$ handeln könnte.
Allgemein gilt ja: Liegen die Punkte $z(t)$ auf einem Kreis mit Radius $r$ um den Punkt [mm] $z_0$, [/mm] so muss gelten [mm] $|z(t)-z_0|=r$.
[/mm]
Ich habe also lediglich rechnerisch untersucht, ob die Punkte $z(t)$ tatsächlich alle auf einem Kreis um [mm] $z_0=1$ [/mm] liegen. Dies ist, wenn meine Umformung von $z(t)-1$ richtig ist, offenbar der Fall und es zeigt sich zudem, dass der Radius dieses Kreises gleich $1$ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 22.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
> Genauso gilt: $ [mm] \cos(2t)=cos^2(t)-\sin^2(t)=2\cos^2(t)-1 [/mm] $. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$ [mm] |z(t)-z_0|=r [/mm] $
das muss ich mir nochmal anschauen ....
danke für die Hilfestellung.
mfg
masa
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